بین دو نقطه دلخواه یک وتر داریم. وتر هایی این وتر را قطع می کنند که از هیچ یک از رئوس وتر اولیه نگذرند. تعداد آنها برابر انتخاب 2 از 8 است. تعداد کل وتر ها برابر انتخاب 2 از 10 است. اگر حاصل را بر 2 تقسیم کنیم جواب مساله بدست می آید(دلیل تقسیم بر دو شدن این است که نقطه برخورد مال هر دو وتر است و برای هر دو حساب شده است.)
چواب:
$$ \frac{a {8\choose{2} } \times {10\choose{2} }}{2}$$
امکان دارد دو وتر موازی باشند ولی چون مقدار حداکثر را خواسته است. فرض را بر این میگیریم که هیچ دو وتری موازی نیستند.
می تواند دو وتر با وتر اولیه در یک نقطه متقاطع باشند. چون حداکثر را می خواهیم فرض را بر این می گیریم که نقطه مشترک ندارند.
هر وتر دلخواه نقاط روی دایره را به دوقسمت(دو طرف پاره خط) تقسیم می کند.. اگر از نقاطی که در یک طرف وتر قرار دارند وتری را رسم کنیم این دو وتر یکدیگر را قطع نمی کنند. پس باید از هر طرف وتر یک نقطه انتخاب شود.
ما انواع وتر مختلف داریم در هر کدام تعداد وتر های متقاطع را حساب می کنیم.
نوع اول دو نقطه سر وتر متوالی باشند. در این حالت تمام 8 نقطه باقیمانده در یک طرف وتر هستند. پس هیچ یک از وتر های دیگر این وتر را قطع نمی کند.
نوع دوم به صورت 1 به 7 باشد در اینصورت 7 وتر با این وتر متقاطع است.
نوع سوم به صورت 2 به 6 باشد در این حالت 12 وتر متقاطع داریم.
نوع چهارم به صورت 3 به 5 باشد. در این حالت 15 وتر متقاطع داریم.
نوع آخر به صورت 4 به 4 باشد در این حالت 16 وتر متقاطع با این وتر موجود است.
از هر نوع وتر 10 تا وجود دارد از نوع آخر ۵ تا وجود دارد پس کران بالای نقاط تقاطع برابر $ \frac{10 \times (0+7+12+15)+5×16}{2} $ است.
شاید کران بالای بهتری هم موجود باشد.
