روش کامل حل رابطهٔ بازگشتی $a_n=n \cdot a_{n-1}$ با شرط اولیهٔ $a_1=1$

Question

رابطهٔ بازگشتی غیر خطی زیر را در نظر بگیرید:

$$a_n=n \cdot a_{n-1},\; a_1=1$$

چگونه می‌شود آن را حل کرد؟

خودم هم هر تلاشی برای حل آن انجام دادم به نتیجه‌ای نرسیدم.

Comments

ان فاکتوریل که ساده است

---

@mdgi ممنون از پاسخ شما. ولی چگونه میشه حلش کرد تا به $n!$ رسید؟

---

@Am.s تعریف فاکتوریل بعلاوه یک استقرای ریاضی ساده.

---

بله. دقیقا

Answer 1

$a_n=n \cdot a_{n-1}$

$\text{If}$ $n=1$, $\text{then}$ $a_1=a_0$.

---

$a_n=n \cdot a_{n-1}$

$\Rightarrow a_n=n(n-1) \cdot a_{n-2}$

$\Rightarrow a_n=n(n-1)(n-2) \cdot a_{n-3}$

$\Rightarrow a_n=n(n-1)(n-2)(n-3) \cdot a_{n-4}$

$\Rightarrow a_n=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) \cdot a_{n-5}$

$\Rightarrow a_n=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)\cdot... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot a_{n-n}$

$\Rightarrow a_n=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)\cdot... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot a_{0}$

$\Rightarrow a_n=n! \cdot a_{0}$

$\Rightarrow a_n=n! \cdot a_{1}$

$\text{If}$ $a_1=1$, $\text{then}$ $\boxed{a_n=n!}\space\checkmark$

Comments

@Math.Al پیشنهاد می‌کنم که به جای انگلیسی از فارسی استفاده کنید که بیشتر هم‌راستای راهنمای سایت باشد (https://math.irancircle.com/faq بخش دوم). و اما نکتهٔ خیلی جزئی، به جای استفاده از حرف بزرگ برای then که وسط جمله است بهتر است از حرف بزرگ برای حرف ابتدای if که ابتدای جمله است استفاده کنید. یعنی If x then y به جای if x Then y. موفق باشید.