آیا می توان برای عبارتِ ${{\mathrm{log}}_a}^{(b)}\cdot{{\mathrm{log}}_a}^{(c)}$ را ساده تر کرد؟

Question

می‌دانیم که $\log_a^{(b)}+\log_a^{(c)}$ را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$\log_a^{(b)}+\log_a^{(c)}=\log_a^{(bc)}$$

حالا عبارت لگاریتمی زیر را در نظر بگیرید:

$${{\mathrm{log}}_a}^{(b)}\cdot{{\mathrm{log}}_a}^{(c)}$$

آیا می‌توان برای حاصل آن مانند عبارت $\log_a^{(b)}+\log_a^{(c)}$، یک فرمول ساده‌تر مشابه حالت پیشین نوشت؟

Comments

نیست. من که تا حال ندیدم

Answer 1

نرم افزار microsoft mathematics تحت ویندوز فرمول پایین رو میده که ازنظر محاسباتی درسته ولی برخلاف روال همیشگی اثباتی براش نمیده. این نرم افزار در سایت p30download.ir دراختیار همه قرار داره. نرم افزار اندرویدی آن هم در گوگل هست که با ارائه اکانت میشه عضو شد و جواب اکثر سؤالات با اثباتش رو میده ولی باوجود ارائه همین فرمول، اثباتشو نمیده.

${{\mathrm{log}}_a}^{(b)}\cdot{{\mathrm{log}}_a}^{(c)}= \frac{ln(b) \times ln(c)}{ ln(a)^{2}} $

Comments

@ناصرـآهنگرپور اثبات این فرمول که چیز خاصی ندارد، خودتان می‌توانید انجام دهید.
نرم‌افزار نام‌برده‌شده نیز یک نرم‌افزار رایگان هست که از سایت اصلی خود شرکتش نیز قابل دانلود است https://math.microsoft.com/en
نکتهٔ آخر اینکه فرمول ارائه شده، ۳ تا لگاریتم باید حساب کند، در حالیکه فرمول اولیه ۲ تا لگاریتم نیاز داشت. بنابراین این فرمول ساده‌کردن محاسبه نیست مگر اینکه شما فقط دسترسی به لگاریتم در پایهٔ عدد نپر داشته‌باشید.

---

@AmirHosein
@Am.s
فرمول نرم افزاری microsoft mathematics، پایه لگاریتم رو برده به پایه نپری و موضوع رو پیچیده تر کرده. درحالیکه خود این مسئله در هر پایه ای قابل محاسبه است و نیازی به تبدیل پایه نیست. فکر کنم جهت اثبات فرمول نرم افزاری، منظورتان استفاده از اتحاد تبدیل پایه لگاریتم باشه که هر جمله از عبارت مسئله بشکل زیر درمیاد.

${{\mathrm{log}}_a}^{b}=\frac{{{\mathrm{log}}_d}^{b}}{{{\mathrm{log}}_d}^{a}}$

${{\mathrm{log}}_a}^{c}=\frac{{{\mathrm{log}}_d}^{c}}{{{\mathrm{log}}_d}^{a}}$

که در اینصورت بجای پایه دلخواه $d$ از پایه نپری $e$ یا پایه ۱۰ نیز میتوان استفاده کرد. در اینصورت جواب قبلی بنده یکی از جوابهای ممکن است و میتوان حاصلضرب جملات فوق را برای نمونه بشکل زیر درپایه ۱۰ نوشت.

${{\mathrm{log}}_a}^{b}\cdot{{\mathrm{log}}_a}^{c}= \frac{{{\mathrm{log}}_{10}}^{b}\cdot{{\mathrm{log}}_{10}}^{c}}{{{\mathrm{log}}_{10}}{ (a)^{2} }}$

درپایان از راهنمایی مفیدتون سپاسگزارم. اگر اشکالی در اثبات فوق وجود داره، از راهنماییهای بعدیتون ممنون میشم.

---

@ناصرـآهنگرپور می‌توانید اثبات را به ادامهٔ پاسخ‌تان بیفزائید. با اینکه فرمول ساده‌تری نیست ولی به عنوان یک فرمول معادل بد نیست.