تعداد سه تایی های مرتب را که در مجموعه اعداد صحیح هستند را بیابید.

Question

تعداد سه تایی ها مرتب x,y,z از اعداد صحیح

0$ \leq $x $ \leq $y $ \leq $z $ \leq $1000

را بیابید به طوری که عدد طبیعیn موجود باشد که

(x+y+z)(x+1)(y+1)(z+1)=$2^{n}$

جواب :۱۰

Answer 1

پاسخ من به شکل زیر است:

چون هر پرانتز باید بر ۲ بخش پذیر باشد پس با یک بررسی ساده میتوان به این نتایج رسید:

1. $x=y=0$
2. $x=0 y=2m+1, z=2k+1$

که در حالت اول الزام میشود کهz=1 پس یک جواب پیداشد.

حال از حالت دوم داریم:

$(2(m+k+1))2(m+1)2(k+1)=2^{n} \Longrightarrow(m+k+1)(m+1)(k+1)=2^{n-3}$

باز هم میدانیم که باید پرانتز ها بر دو بخش پذیر باشند که با یک بررسی ساده میتوان نتیجه گرفت که: $(k+1)^{2}$=$2^{n-3}$

که عبارت (k+1) میتواند از دو به توان صفر تا دو به توان هشت باشد پس 9 پاسخ و با پاسخ اول 10 پاسخ حاصل میشود.

Comments

درواقع اگر $x$ غیرصفرباشد ، پس $y,z$ نیز غیرصفرند و بنابراین چون پرانتزهای دوم و سوم وچهارم در صورت سوال باید زوج باشند، $x,y,z$ هرسه فردند، پس پرانتز اول نیز فرد است و به تناقض میریسیم.