به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
8,546 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

نحوه قطری کردن ماتریس ها را بیان کنید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

می دانیم که یک ماتریس مربعی $n\times n$ قطری شدنی است اگر و تنها اگر دارای $n$ بردار ویژه ی مستقل خطی باشد.( یعنی دارای $n$ بردار ویژه باشد به طوریکه تشکیل یک پایه برای فضای سطری ماتریس دهد) در اینصورت ماتریس قطری متناظر همان مقادیر ویژه هستند. و اگر ماتریس $P$ از $n$بردار ویژه تشکیل شده باشد آنگاه $PAP^{-1}$ ماتریس قطری متناظر خواهد بود.

به عنوان مثال اگر ماتریس $A= \begin{bmatrix}5 & 1 \\3 & 3 \end{bmatrix} $ را در نظر بگیرید در اینصورت مقادیر ویژه برابر $2,6$ خواهند بود زیرا $$\det (tI-A)=\det \begin{bmatrix}t-5 & -1 \\ -3 & t-3 \end{bmatrix}=t^2-8t+12=(t-6)(t-2) $$ در اینصورت بردارهای ویژه ی متناظر برابر عبارت اند از $u= \begin{bmatrix}u_1 \\u_2 \end{bmatrix} ,v= \begin{bmatrix}v_1 \\v_2 \end{bmatrix} $ که $ Av=2v,Au=6u$ در اینصورت $\begin{bmatrix}5 & 1 \\3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_1 \\u_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}5u_1+u_2\\3u_1+3u_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}6u_1 \\6u_2 \end{bmatrix} $ نتیجه می شود $u_1=u_2$ هرمقداری دهیم بردار ویژه ی متناظر است. مثلا $u= \begin{bmatrix}1 \\1 \end{bmatrix} $

و از $\begin{bmatrix}5 & 1 \\3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_1 \\v_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}5v_1+v_2 \\3v_1+3v_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2v_1 \\2v_2 \end{bmatrix} $ داریم $3v_1+v_2= 0$ پس به عنوان مثال می توان $v=\begin{bmatrix}1 \\-3\end{bmatrix}$ را در نظر گرفت. در اینصورت $P= \begin{bmatrix}1 & 1 \\1 & -3 \end{bmatrix} $ و لذا ماتریس قطری متناظر برابر است با : $$P^{-1}AP= \begin{bmatrix}6& 0 \\0 & 2 \end{bmatrix} $$ توجه کنید که همانطور که انتظار می رفت در ماتریس قطری درایه های روی قطر اصلی همان مقادیر ویژه هستند.

به عنوان مثال دیگر اگر $ B=\begin{bmatrix}2&1 \\0& 2 \end{bmatrix} $ در اینصورت چندجمله ای مشخصه برابر $(t-2)^2$ است یعنی مقدار ویژه برابر $2$ است و بردار ویژه متناظر برابر است با $ \begin{bmatrix}2u_1+u_2 \\2u_2 \end{bmatrix} =Bu=2u= \begin{bmatrix}2u_1\\2u_2\end{bmatrix} $ یا $u_2=0$ و $u_1$ هر مقدار دلخواه می تواند باشد. پس فرض $u= \begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix} $ در اینصورت $B$ قطری شدنی نیست زیرا تنها یک بردار ویژه داریم و تشکیل پایه نمی دهد.

و در نهایت اگر $C= \begin{bmatrix}0&-1 \\1&0 \end{bmatrix} $ در اینصورت می توان نشان داد چندجمله ای مشخصه ی آن برابر $t^2+1$ بوده و چون هیچ ریشه ای در $\mathbb R$ ندارد پس هیچ مقدار ویژه ای ندارد و متناظرا هیچ بردار ویژه ای نداریم پس قطری شدنی نیست. با این حال اگر ماتریس را روی اعداد مختلط $\mathbb C$ در نظر بگیریم در اینصورت $t^2+1=(t-i)(t+i)$ دارای دو مقدار مشخصه ی $i, -i$ بوده و چون این دو نابرابرند پس بردارهای ویژهی متناظر مستقل خطی بوده و تشکیل پایه می دهند لذا قطری شده ی $C$ به عنوان ماتریسی روی $\mathbb C$ برابر $ \begin{bmatrix}i&0 \\0&-i \end{bmatrix} $ خواهد بود.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...