به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
391 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

در مدرسه با محاسبه کردن ریشهٔ دوم یک عدد حقیقی مثبت تا چند رقم اعشار آشنا شدیم. آیا روشی برای محاسبه کردن ریشهٔ سوم وجود دارد؟

توسط AmirHosein (17,973 امتیاز)
@ناصرـآهنگرپور شما به دنبال اثبات الگوریتم محاسبهٔ جذر به صورت دستی هستید، یا به دنبال یک الگوریتم برای محاسبهٔ ریشهٔ سوم به صورت دستی؟ این دو تا دو پرسش متفاوت هستند. بعلاوه مبانی ریاضیات نام یک درس در ابتدای دورهٔ کارشناسی (لیسانس) رشتهٔ ریاضی است که در آنجا با گزاه‌ها و ارزش منطقی‌شان، روش‌های اثبات، نظریهٔ مجموعه‌ها و اصل انتخاب آشنا می‌شوید. این مبحث چه ربطی به پرسش‌تان دارد که به عنوان برچسب گذاشته‌اید؟
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
@AmirHosein با درود: بصورت کلی میخواستم بدونم به ازای $2\leq n $
برای  $\sqrt[n]{a} $ از فرمول خاصی استفاده میشه؟ با نمونه های حل شده جذر آشنا هستم. نمونه حل شده ریشه سوم رو میخواستم. با سپاس صمیمانه.
توسط AmirHosein (17,973 امتیاز)
@ناصرـآهنگرپور منظور من این است که در یک پست، یک پرسش بپرسید.
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
+1
@AmirHosein با تشکر از پیگیری دوستانه شما. الگوریتم ریشه سوم برام مهمه همراه نمونه حل شده. بیاد دارم که پدر درگذشته بنده این محاسبه را بطور دستی انجام میداد و چون الگوریتمی براش سراغ ندارم، برام قابل درک نبود. البته بدنبال اثبات محاسبه ریشه n ام اعداد در اینترنت هستم. اگر موفق شدم، در این محفل به اشتراک میگذارم.
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
@AmirHosein
 با درود به استاد گرامی: با توجه به اینکه بنده با برداشت خود از مرجع مندرج در بخش پاسخ، در چند روز اخیر ترجمه آنرا انجام داده ام، از شما برای صحت مطالب مندرج در آن بخش تقاضای یاری دارم و با اعتقاد به حسن نیت شما ویرایش آنرا درصورت لزوم به شما واگذار میکنم. بنظر میاد در آموزش متوسطه این موضوع بشکل گذرا و سطحی بررسی شده. بطور کلی ریشه $n$ ام با بسط دوجمله ای نیوتون بشکل زیر بدست می‌آید ولی باوجود دقت زیاد، از آنجا که این روش با آزمون و خطا پیش میرود و درک آن برای دوره مدرسه دشوار است(بخصوص برای ریشه های بزرگتر)، از کتابهای درسی حذف شده و روشهای تقریبی ضعیفی جایگزین شده است که از اعتبار علمی زیادی برخوردار نیستند.

    $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} = a^{2} + (2a + b)b$

    $(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} = a^{3} + (3a^{2}+ 3ab + b^{2})b$

پدر درگذشته بنده نیز از همین روش دشوار استفاده میکرد. ولی روشهایی زیبا و درعین حال کارآمد بشرح بخش پاسخ وجود دارد که برای ریشه های بزرگتر نیز کاربرد دارد و خالی از لطف نیست. با سپاس صمیمانه.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور

دانشجو میپرسد: آیا روش آسانی برای حل $z = \sqrt[y]{x}$ با متغیر $z$ وجود دارد؟ وآیا روش آسانی برای حل با متغیر $x$ وجود دارد؟ ابتدا نوشتار دکتر jerry:

روش 1: روش لگاریتم که محاسبه دستی محسوب نمیشود زیرا احتیاج به جدول لگاریتم دارد.

$z = \sqrt[y]{x} \Rightarrow log\left( z \right) = \frac{{log\left( x \right)}}{y}$

اگر آنتی لگاریتم نتیجه فوق را ببینیم $z$ را بدست می‌آوریم. این روش درگذشته پیش از اختراع ماشین حسابهای علمی بکار میرفت (اگر $y=2$ از روش دیگری استفاده میکردند). ولی روش محاسبه دستی زیر در مواردی که به ماشین حساب و جداول لگاریتم دسترسی نداریم بسیار مفید و سریع است و دقت کافی دارد.

روش 2: که بنام روش نیوتون مشهور است: به تابع زیر بنگرید.

$f(x) = {x^n} – a$

تقاطع $x$ این تابع، یعنی جاییکه ${x^n} - a = 0$ ، مقدار $x$ ی است که جستجو میکنید. فرض کنید ${x_1}$ حدسی از این مقدار باشد. بهینه سازی $....,{x_3},{x_2}$ در این حدس با فرمول نیوتون انجام میشود:

$\begin{array}{l}{x_2} = {x_1} - \frac{{({x_1}^n - a)}}{{n{x_1}^{n - 1}}}\\{x_3} = {x_2} - \frac{{({x_2}^n - a)}}{{n{x_2}^{n - 1}}}\end{array}$

برای مثال، فرض کنید $\sqrt[4]{5}$ را میخواهیم محاسبه کنیم. فرض میکنیم ${x_1}$ مساوی $1.5$ است؛ آنگاه با فرمولهای فوق مقادیر زیر را داریم

${x_2} = 1.495370$

${x_3} = 1.495349$

اگر توان چهارم ${x_3}$ را محاسبه کنید، عددی نزدیک به $5$ را بدست می‌آورید. و باجواب ماشین حساب بمقدار 1.495348781221221 دقت پنج رقم اعشار را نشان میدهد که در اکثر موارد قابل استفاده است.

دکتر Rob درجواب مینویسد. هنگامیکه میگویید با متغیر $x$ و $z$ حل کنید، از اولین پاراگراف شما تصور میکنم منظورتان یافتن مقادیر عددی میباشد. همچنین از این پیام تصور میکنم که میخواهید $y$ عددی صحیح باشد. الگوریتم زیر، $z$ را بسرعت می‌یابد.

0) سطحی از تقریب را انتخاب کنید که میخواهید بپذیرید، یعنی عددی مانند $e > 0$ ، بطوریکه اختلاف جوابتان با جواب واقعی کمتر از $e$ باشد.

1) فرض کنید ${z_0}$ مساوی اولین حدس از مقدار ریشه باشد.

2) فرض کنید $n=0$

3) محاسبه ${z_{n + 1}} = (1 - \frac{1}{y}){z_n} + (\frac{1}{y})(\frac{x}{{{z_n}^{y - 1}}})$ را انجام دهید.

4) اگر $\left| {{z_{n + 1}} - {z_n}} \right| < e$ ، ادامه ندهید و بپذیرید که $z = {z_{n + 1}}$.

5) جایگزینی $n+1$ بجای $n$ را انجام دهید و به مرحله 3 بروید.

این روش بنام نیوتون، روش نیوتون نامیده میشود. این روش خیلی سریع با جواب دقیق همگرا میشود و اگر ${z_0}$ حدس خوبی باشد، سریعتر همگرا میشود.مثال: ریشه پنجم 11 را تا 8 رقم اعشار پیدا کنید.

0) $e = \frac{1}{{{{10}^8}}}$

1) ${z_0} = 2$

2) $n=0$

3) ${z_1} = (\frac{4}{5})2 + (\frac{1}{5})(\frac{{11}}{{{2^4}}}) = 1.6 + 0.1375 = 1.7375$

4) $\left| {{z_1} - {z_0}} \right| = 0.2625 > e$

5) $n=1$

3) ${z_2} = (\frac{4}{5})1.7375 + (\frac{1}{5})\frac{{11}}{{{{1.7375}^4}}} = 1.631392308$

4) $\left| {{z_2} - {z_1}} \right| = 0.106107692 > e$

5) $n=2$

3) ${z_3} = (\frac{4}{5})1.631392308 + (\frac{1}{5})\frac{{11}}{{{{1.631392308}^4}}} = 1.615704970$

4) $\left| {{z_3} - {z_2}} \right| = 0.015687338 > e$

5) $n=3$

3) ${z_4} = 1.615394386$

4) $\left| {{z_4} - {z_3}} \right| = 0.000310584 > e$

5) $n=4$

3) ${z_5} = 1.61539426620220$

4) $\left| {{z_5} - {z_4}} \right| = 0.000000119475 > e$

5) $n=5$

3) ${z_6} = 1.61539426620218$

4) $\left| {{z_6} - {z_5}} \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}0.00000000000002{\rm{ }} < {\rm{ }}e$; $\Longrightarrow$ stop

ریشه پنجم 11 مساوی 1.61539427 با دقت 8 رقم اعشار است. حال بمنظور حل با متغیر $x$، داریم $x = {z^y}$ . چون $y$ یک عدد صحیح است، این مسئله فقط موضوعی مربوط به ضرب مکرر است. اگر $y$ مقدار مناسبی داشته باشد، بروش زیر میتوانید این محاسبه را کمی کوتاه کنید. برای بدست آوردن جمله بعدی، این کار را با مربع سازی هر جمله انجام دهید. ${z^2},{z^4},{z^8},{z^{16}},....,{z^{2n}}$ را محاسبه کنید که در آن ${2^n} \le y < {2^{n + 1}}$. حال محاسبه کنید که کدامیک از اینها با ضرب به یکدیگر ${z^y} = x$ را بدست می‌آورد. با محاسبه اینکه چگونه میتوان $y$ را بصورت مجموع توانهای 2 نوشت، این کار انجام میشود، یعنی چگونه y را در مبنای عددی 2 بنویسیم(یا دستگاه عددی باینری).

مثال: چه عددی بیستمین ریشه 3 را دارد؟ یا به عبارت صریحتر $3^{20}=?$.

در اینجا $z=3$ ، $y=20$ است. با نوشتن $y$ بشکل باینری، $y=10100$ ، $y=2^{4}+2^{2}$ ، $z^{20}=z^{16}z^{4}$ . سپس $z^2 = 9, z^4 = 81, z^8 = 6561, z^{16} = 43046721$ ، بنابراین ${z^{20}} = 81 \times 43046721 = 348684401$ . این روش، محاسبه را از $y-1=19$ حاصلضرب به فقط 5 حاصلضرب کاهش میدهد.

مرجع ترجمه شده: http://mathforum.org/library/drmath/view/52651.html

با نگاهی به کتاب: C.T.Kelly - Sloving Nonlinear Equations with Newton’s Method (Fundamentals of Algorithms) (1987, Society for Industrial Mathematics)


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...