دانشجو میپرسد: آیا روش آسانی برای حل $z = \sqrt[y]{x}$ با متغیر $z$ وجود دارد؟ وآیا روش آسانی برای حل با متغیر $x$ وجود دارد؟ ابتدا نوشتار دکتر jerry:
روش 1: روش لگاریتم که محاسبه دستی محسوب نمیشود زیرا احتیاج به جدول لگاریتم دارد.
$z = \sqrt[y]{x} \Rightarrow log\left( z \right) = \frac{{log\left( x \right)}}{y}$
اگر آنتی لگاریتم نتیجه فوق را ببینیم $z$ را بدست می‌آوریم. این روش درگذشته پیش از اختراع ماشین حسابهای علمی بکار میرفت (اگر $y=2$ از روش دیگری استفاده میکردند). ولی روش محاسبه دستی زیر در مواردی که به ماشین حساب و جداول لگاریتم دسترسی نداریم بسیار مفید و سریع است و دقت کافی دارد.
روش 2: که بنام روش نیوتون مشهور است: به تابع زیر بنگرید.
$f(x) = {x^n} – a$
تقاطع $x$ این تابع، یعنی جاییکه ${x^n} - a = 0$ ، مقدار $x$ ی است که جستجو میکنید. فرض کنید ${x_1}$ حدسی از این مقدار باشد. بهینه سازی $....,{x_3},{x_2}$ در این حدس با فرمول نیوتون انجام میشود:
$\begin{array}{l}{x_2} = {x_1} - \frac{{({x_1}^n - a)}}{{n{x_1}^{n - 1}}}\\{x_3} = {x_2} - \frac{{({x_2}^n - a)}}{{n{x_2}^{n - 1}}}\end{array}$
برای مثال، فرض کنید $\sqrt[4]{5}$ را میخواهیم محاسبه کنیم. فرض میکنیم ${x_1}$ مساوی $1.5$ است؛ آنگاه با فرمولهای فوق مقادیر زیر را داریم
${x_2} = 1.495370$
${x_3} = 1.495349$
اگر توان چهارم ${x_3}$ را محاسبه کنید، عددی نزدیک به $5$ را بدست می‌آورید. و باجواب ماشین حساب بمقدار 1.495348781221221 دقت پنج رقم اعشار را نشان میدهد که در اکثر موارد قابل استفاده است.
دکتر Rob درجواب مینویسد. هنگامیکه میگویید با متغیر $x$ و $z$ حل کنید، از اولین پاراگراف شما تصور میکنم منظورتان یافتن مقادیر عددی میباشد. همچنین از این پیام تصور میکنم که میخواهید $y$ عددی صحیح باشد. الگوریتم زیر، $z$ را بسرعت می‌یابد.
0) سطحی از تقریب را انتخاب کنید که میخواهید بپذیرید، یعنی عددی مانند $e > 0$ ، بطوریکه اختلاف جوابتان با جواب واقعی کمتر از $e$ باشد.
1) فرض کنید ${z_0}$ مساوی اولین حدس از مقدار ریشه باشد.
2) فرض کنید $n=0$
3) محاسبه ${z_{n + 1}} = (1 - \frac{1}{y}){z_n} + (\frac{1}{y})(\frac{x}{{{z_n}^{y - 1}}})$ را انجام دهید.
4) اگر $\left| {{z_{n + 1}} - {z_n}} \right| < e$ ، ادامه ندهید و بپذیرید که $z = {z_{n + 1}}$.
5) جایگزینی $n+1$ بجای $n$ را انجام دهید و به مرحله 3 بروید.
این روش بنام نیوتون، روش نیوتون نامیده میشود. این روش خیلی سریع با جواب دقیق همگرا میشود و اگر ${z_0}$ حدس خوبی باشد، سریعتر همگرا میشود.مثال: ریشه پنجم 11 را تا 8 رقم اعشار پیدا کنید.
0) $e = \frac{1}{{{{10}^8}}}$
1) ${z_0} = 2$
2) $n=0$
3) ${z_1} = (\frac{4}{5})2 + (\frac{1}{5})(\frac{{11}}{{{2^4}}}) = 1.6 + 0.1375 = 1.7375$
4) $\left| {{z_1} - {z_0}} \right| = 0.2625 > e$
5) $n=1$
3) ${z_2} = (\frac{4}{5})1.7375 + (\frac{1}{5})\frac{{11}}{{{{1.7375}^4}}} = 1.631392308$
4) $\left| {{z_2} - {z_1}} \right| = 0.106107692 > e$
5) $n=2$
3) ${z_3} = (\frac{4}{5})1.631392308 + (\frac{1}{5})\frac{{11}}{{{{1.631392308}^4}}} = 1.615704970$
4) $\left| {{z_3} - {z_2}} \right| = 0.015687338 > e$
5) $n=3$
3) ${z_4} = 1.615394386$
4) $\left| {{z_4} - {z_3}} \right| = 0.000310584 > e$
5) $n=4$
3) ${z_5} = 1.61539426620220$
4) $\left| {{z_5} - {z_4}} \right| = 0.000000119475 > e$
5) $n=5$
3) ${z_6} = 1.61539426620218$
4) $\left| {{z_6} - {z_5}} \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}0.00000000000002{\rm{ }} < {\rm{ }}e$; $\Longrightarrow$ stop
ریشه پنجم 11 مساوی 1.61539427 با دقت 8 رقم اعشار است. حال بمنظور حل با متغیر $x$، داریم $x = {z^y}$ . چون $y$ یک عدد صحیح است، این مسئله فقط موضوعی مربوط به ضرب مکرر است. اگر $y$ مقدار مناسبی داشته باشد، بروش زیر میتوانید این محاسبه را کمی کوتاه کنید. برای بدست آوردن جمله بعدی، این کار را با مربع سازی هر جمله انجام دهید.
${z^2},{z^4},{z^8},{z^{16}},....,{z^{2n}}$
را محاسبه کنید که در آن
${2^n} \le y < {2^{n + 1}}$.
حال محاسبه کنید که کدامیک از اینها با ضرب به یکدیگر
${z^y} = x$
را بدست می‌آورد. با محاسبه اینکه چگونه میتوان $y$ را بصورت مجموع توانهای 2 نوشت، این کار انجام میشود، یعنی چگونه y را در مبنای عددی 2 بنویسیم(یا دستگاه عددی باینری).
مثال: چه عددی بیستمین ریشه 3 را دارد؟ یا به عبارت صریحتر $3^{20}=?$.
در اینجا $z=3$ ، $y=20$ است. با نوشتن $y$ بشکل باینری، $y=10100$ ، $y=2^{4}+2^{2}$ ، $z^{20}=z^{16}z^{4}$ . سپس
$z^2 = 9, z^4 = 81, z^8 = 6561, z^{16} = 43046721$ ، بنابراین ${z^{20}} = 81 \times 43046721 = 348684401$ .
این روش، محاسبه را از $y-1=19$ حاصلضرب به فقط 5 حاصلضرب کاهش میدهد.
مرجع ترجمه شده:
http://mathforum.org/library/drmath/view/52651.html
با نگاهی به کتاب:
C.T.Kelly - Sloving Nonlinear Equations with Newton’s Method (Fundamentals of Algorithms) (1987, Society for Industrial Mathematics)
