انتخاب چند گروه ازnشي متمايز با نام گذاري وبدون نام گذاري؟؟؟

Question

ارائه واثبات فرمول براي اين دو مسئله؟؟

1-انتخاب چند گروه از nشي متمايزبا نام گذاري ؟

2- انتخاب چند گروه از n شي متمايز بدون نام گذاري؟؟

Comments

میشه بیشتر توضیح بدید سوالتونو؟

---

fardina@
nشي داريم و ميخواهيم اين n شي را در rگروه كه اين گروه هارانام گذاري كرديم تقسيم بندي كنيم

و سوال بعدي آن همان قبلي است با اين تفاوت كه اين r را نام گذاري نكرده ايم

---

برای اینکه من از دیدگاهتون خبر دار بشم باید اول @ رو بنویسید بعد نام کاربری. یعنی @fardina درسته نه fardina@

Answer 1

فکر کنم در مورد اول منظور پیدا کردن جواب های معادله ی $x_1+x_2+...+x_r=n$ باشد چون مثل حالت های قرار گرفتن $n$ شی مثل $u$ و $r-1$ خط در کنار هم است(خط ها برای جدا کردن جعبه ها). مثلا $$uuu|uuuuu|u|uu|u$$ که در اینصورت برابر ${n+r-1\choose r-1}={n+r-1\choose n}$ است.

و در مورد دوم برابر تعداد افرازهای عدد $n$ به $r$ جمعوند است. زیرا وقتی جعبه ها یکسان باشند در اینصورت دو حالت زیر یکی محسوب می شوند: $$uu|uuuu|u\\ u|uuuu|uu$$

برای دیدن تعریف افراز به اینجا یا این پاسخ رجوع کنید.

Comments

@fadina
باتوجه به پاسخي كه داديد اين دو سوال( كه مثالي ازدو سوال اوليه است) را حل كنيد؟؟
به چند طريق 12 نفر به گروه هاي 4نفره ABCتقسيم مي شوند؟
به چند طريق ميتوان 12 نفر را به سه گروه چهار نفره تقسيم كرد؟

---

@saderi7
برای اولی $n=12$ و $k=3$ در اینصورت جواب برابر ${12+3-1\choose 3-1}=91$
و برای دومی برابر تعداد افرازهای عدد $12$ به $3$ جمعوند است. اما فرمول مشخصی برای پیدا کردن آن وجود ندارد ولی چناچه فرض کنیم $p_k(n)$ تعداد افرازهای $n$ به $k$ جمعوند است آنگاه $p_k(n)=p_k(n-k)+p_{k-1}(n)$ که $1< k< n$و همینطور $p_k(n)=p_n(n)$ برای $k\geq n$و به علاوه $p_n(n)=1+p_{n-1}(n)$. در اینصورت می توانید به صورت بازگشتی به $p_3(12)$ برسید:
$p_3(12)=p_3(9)+p_2(12)\\
=p_3(6)+p_2(9)+p_2(10)+p_1(12)\\
=p_3(3)+p_2(6)+p_2(7)+p_1(9)+\\p_2(8)+p_1(10)+1\\
=3+p_2(4)+p_1(6)+p_2(5)+p_1(7)+\\1+p_2(6)+p_1(8)+1+1\\
=3+p_2(2)+p_1(4)+1+p_2(3)+p_1(5)+\\1+1+p_2(4)+p_1(6)+1+1+1\\
=3+2+1+1+p_2(1)+p_1(3)+1+1+1+\\p_2(2)+p_1(4)+1+1+1+1\\
=3+2+1+1+1+1+1+1+2+1+1+1+1+1\\
=19$.
البته امیدوارم اشتباه نکرده باشم در محاسبات!

Answer 2

سوال اول......

.انتخاب $r$ گروه از $n$ شي متمايز با نام گذاري گروه؟

فرض كنيد از $شي n$$$ \underbrace{ A_{1} A_{2} A_{3} ...... A_{n} } $$ ميخواهيم گروه هاي $ n_{1} $ عضوي و$ n_{2} $ عضوي و.............$n_{k}$عضوي كه $$ n_{1}+ n_{2} + n_{3}+ .........+ n_{k} =n$$ است وگروه ها نام گذاري شده اند انتخاب كنيم در اين صورت تعداد كل حالات ممكن چنين است

1- )گروه اول$ n_{1} $ از $n$ را انتخاب ميكند$ \Leftarrow $يعني${n\choose n_{1} }$

2-)گروه دوم$ n_{2} $ از باقيمانده ي اشيا انتخاب ميكند$ \Leftarrow $يعني${n- n_{1} \choose n_{2} }$

$.$

$.$

$.$

r-)گروه اخر هم تتمه ي اخر اشيا را انتخاب مي كند$ \Leftarrow $يعني${n-( n_{1} + n_{2}+ ....+ n_{k-1} )\choose x_{k} }$

بنابراين طبق اصل ضرب تمام حالت هارا ضرب ميكنيم يعني

$${n- n_{1} \choose n_{1} }{n\choose n_{2} }.......{n-( n_{1} + n_{2} +...+ n_{k-1}) \choose n_{k} }$$

حال سوال

به چند طريق 12 نفر به گروه هاي Abc تقسيم مي شوند؟؟

با تو جه به رابطه بالا ..برابر است با....

$${12\choose4}{8\choose4}{4\choose4}$$

Comments

پس باید سوالو درست می نوشتید. این جوابی که شما نوشتید برای وقتی درسته که بگه انتخاب $r $گروه از $n$ شی به طوریکه گروه اول $n_1$ عضو و...و گروه $r$ام $n_r$ عضو داشته باشد. که در اینصورت مساله خیلی راحت تر با استفاده از مفاهیم ابتدایی قابل حل است.
ولی وقتی میگید $r$ گروه از $n$ شی دیگه محدود نکردید که گروه ها چند عضوی باشند.