اثبات نامساوی در رابطه نرم و ماتریس ها

Question

اگر $A$ یک ماتریس مربعی $n \times n $ و $ \parallel . \parallel _p$ نرم دلخواهی باشد ثابت کنید:

$ \parallel Ax \parallel _p \leq \parallel A\parallel _p \parallel x \parallel _p$

Answer 1

در حالت کلی اگر $T: \mathbb R^p\to\mathbb R^q$ یک تبدیل خطی باشد(در سوال شما تبدیل خطی متناظر با ماتریس) در اینصورت بنابر تعریف می دانیم $\|T\|=\sup\{\|T(x)\|:x\in\mathbb R^p,\|x\|\leq 1\}$ . در اینصورت به ازای هر $0\neq x\in\mathbb R^p$ اگر قرار دهیم $y=\frac{x}{\|x\|}$ چون $\|y\|=1\leq 1$ بنابراین از تعریف $\|T\|$ و مفهوم $\sup$ داریم $\|T(\frac x{\|x\|})\|\leq \|T\|$ اما $\|T(\frac x{\|x\|})\|=\|\frac 1{\|x\|}T(x)\|=\frac 1{\|x\|}\|T(x)\|$ با جاگذاری در نامساوی قبلی داریم $\|T(x)\|\leq \|T\|\|x\|$ .

و در نهایت توجه کنید که نامساوی فوق برای $x=0$ هم به وضوح برقرار است لذا برای هر $x\in\mathbb R^p$ برقرار است.