قسمت 1 )
طبق قضیه ای در جبر اگر $G$ گروه و $H \leq G$ و $K \leq G$ آنگاه :
$$ \mid HK\mid \ = \frac{ \mid H \mid \times \mid K \mid }{ \mid H \bigcap K \mid } $$
پس :
$$ \frac{ \mid H \mid }{ \mid H \bigcap K \mid } = \frac{ \mid HK \mid }{ \mid K \mid } $$
حال از آنجا که $HK \subseteq G$ پس $ \mid HK \mid \leq \mid G \mid $ . بنابراین $\frac{ \mid HK \mid }{ \mid K \mid } \leq \frac{ \mid G \mid }{ \mid K \mid } $ .در نتیجه $ \frac{ \mid H \mid }{ \mid H \bigcap K \mid } \leq \frac{ \mid G \mid }{ \mid K \mid } $ . اما $ \frac{ \mid G \mid }{ \mid K \mid } =[G:K]$ و $\frac{ \mid H \mid }{ \mid H \bigcap K \mid } =[H:H \bigcap K]$ . پس $[H:H \bigcap K] \leq [G:K]$ .طبق فرض شاخص $K$ در $G$ متناهی است بنابراین شاخص $H \bigcap K$ در $H$ متناهی است .
تساوی زمانی اتفاق می افتد که $ \mid HK \mid = \mid G \mid $ یعنی $HK=G$ .
قسمت 2 )
طبق قضیه ای در جبر اگر $G$ گروه و $H \leq K \leq G$ آنگاه :
$$[G:H]=[G:K] \times [K:H]$$
پس از آنجا که $H \bigcap K \leq H$ می توان نوشت :
$$[G:H \bigcap K]=[G:H] \times [H:H \bigcap K]$$
در قسمت 1 ثابت کردیم $[H:H \bigcap K] \leq [G:K]$ بنابراین :
$$[G:H \bigcap K] \leq [G:H] \times [G:K]$$
و طبق آنچه در قسمت 1 استدلال کردیم تساوی زمانی اتفاق می افتد که $HK=G$ .
