Question

پاره خط های DA و EA به ترتیب نیمساز های زوایای EDG و DEH می باشند

که در نقطه A به یکدیگر می رسند. از نقطه A بر خطوط f و e عمود می کنیم و اسم دو نقطه ی

به دست آمده را G و H می نامیم. ثابت کنید ED=DG+EH می باشد.

Comments

3 مثلث متشابه داریم، با استفاده از اونها پیش برید و اصلا به راهنمایی سوال توجه نکنید

---

میخواهم بدون تشابه مسئله حل شود.

Answer 1

باتوجه به خاصیت نیمساز زاویه ، وقتی از $A$بر $ED$ عمود کنیم چون نقطه $A$ روی نیمسازها واقع است پس :

$AG=AF=AH$

لذا مثلث های $AGDوAFD$باهم همنهشتند ودر نتیجه:

$DF=\color{red}{DG}$

و مثلث های $AFEوAHE$باهم همنهشتند ودر نتیجه:

$EF=\color{red}{EH}$

$$ED=EF+DF\color{red}{=EH+DG}$$

Answer 2

به نام خدا.

فرض کنید.

$ \angle \frac{DEH}{2}= \beta $

$ \angle \frac{EDG}{2} = \alpha $

حال پاره خط AD را امتداد دهید تا خط e را در F قطع کند.حال می دانیم که :

$ \alpha + \beta =90$

$ \angle EAH=90- \beta $

واضح است که زاویه EFD برابر است با آلفا.پس مثلث EDF متساوی الساقین است. از طرفی می دانیم که HF=DG پس حکم ثابت شده است.

برای اینکه ثابت کنیم که HF=DG باید اثبات کنیم که AG=AH , داریم:AD=L

AG=L.sin$ \alpha $

AE=L. tan$ \alpha $

AH=AE.cos$ \alpha $

که اگر در معادله ی سوم ، به جای AE معادله دوم را قرار دهید اندازه AG=AH است. حال اثبات می کنیم که دو مثلث ADG با AHF هم نهشت اند.

$ \angle HAF= \angle DAG$

AH=AG

$ \angle H= \angle G=90$

بنا به حالت دو زاویه و ضلع بین دو مثلث هم نهشت اند و از آن نتیجه می شود که: HF=DG

DE=EH+HF=EH+DG

این پاسخ اکنون کامل شد.

Comments

سلام، پاسخ جالبی است اما چطور می‌توان مطمئن شد که خط DA با خط AF در یک راستا هستند تا که اصلا مثلث ‌DFE بخواهد تشکیل شود؟ و همچینن اینکه از راهنمایی صورت سوال استفاده‌ کردید؟

---

سلام. پاسخ اصلاح شد.

---

@Ramtin اگر بتوان اثبات کرد که AG=AH آن گاه اثبات می شود که PG=HF، من برای این مطلب در نرم افزار geogebra  دو نقطه ی دلخواه انتخاب کردم و آن ها را D,E مانند سوال نامیدم و سپس نیمساز زوایای پدید آمده را رسم کردم. AG=AH شد.

---

آیا به ازای هر مقداری AG=GH?

ببینید اصلا نیازی به این کار نیست جناب

کافیه اثبات کنید که زاویه ی بین دو پاره خط DA و AF برابر با 180 درجه هست

خب، ميدونيم که <EAH = آلفا و زوایای ‌DAG=HAF=بتا

یعنی زاویه EAH = آلفا + بتا =90 و زاویه DAE هم. که. 90 پس زاویه بین دو پاره خط DA و AF  برابر با 180 درجست که حکم اثبات میشه و 3 نقطهD و A و F بر یک استقامت خواهند بود


بنظرم اگر این برهان رو به اثباتتون اضاف کنید، اثباتتون کامل خواهد شد

---

یعنی باید این قضیه را اثبات کرد: اگر دو خط e ,f موازی باشند، اگر نقطه ی D روی f و E روی e را به دلخواه انتخاب کنیم،و سپس از D به E وصل کنیم و نیم ساز های زوایایHED,EDG را رسم کنیم تا همدیگر را در A قطع کند. اگر از A بر f عمود کنیم و آن را G بنامیم و همینطور بر خط e
 H بنامیمم آن گاه AG=AH

---

من پاسخ را عوض کردم. باید اثبات کرد که یکی از اضلاع مثلث DGA با HAF برابر است. اگر راه حل قبل را در نظر بگیرید، آن گاه ما نمی دانیم که HAF برابر با بتا است.

---

@Ramtin آیا توانستم منظورم را بیان کنم؟

---

اگر حالات متفاوت در نظر بگیرید، امکان دارد دو مثلثی که در آخرین دیدگاه خود بیان کردید(فقط امکان دارد، مطمئن نیستم) ، صرفا متشابه باشند و نه هم نهشت،

اما برای هم خط استقامت بودن 3 نقطه، راه حلی که ارائه کردم آسان ترین راه بود،


گرچه برای حل این مسئله بنظر راه حل های دیگه هم هست، اما راهنمایی صورت مسئله هم باید استفاده شه، چون من از راهی رفتم که نیازی به راهنمایی نبود (تشابه 3 مثلث) ولی متاسفانه راه حل مد نظر نویسنده سوال نبود

---

من دو پاسخ دادم که یکی اولی را حذف کردم. اولی به این شرح بود که از H به اندازه پاره خط DG امتداد می دادیم. در این صورت ما نمی دانیم که  زاویه HAF برابر با بتا است.در نتیجه آن چه که گفته اید صدق نمی کند. پاسخ دوم هم که دادم این بود که (همون پاسخ بالا) از A پاره خط AD را امتداد می دهیم تا خط e را قطع کند. در این صورت ما فرض کرده ایم که سه نقطه DAF روی یک خط اند و به طور کلی AG=AH است( که نیاز به اثبات دارد) در این صورت دو مثلث ADG و AHF همنهشت اند.

---

سلام
ممنون
چرا DG=HF ؟

---

هم نهشتی دو مثلث ADG و AHF