دو زوج از اعداد داریم که جمع اعضای زوج اول با جمع اعضای زوج دوم برابر است ولی اختلاف اعضا برابر نیست. ثابت کنید ضرب اعضای با اختلاف کمتر بیشتر می شود.

Question

به فرض $a$ و $b$ و $x$ و $y$ چهار عدد باشند که $x+y$ و $a+b$ هر دو برابر یک مقدار شوند، این مقدار را $k$ بنامید. اگر بعلاوه داشته باشیم که $|x-y|=m$ و $|a-b|=n$ که $m< n$، آنگاه ثابت کنید که $xy>ab$.

Comments

این موضوع با اتحاد مزدوج براحتی قابل اثبات است.
$1)(a-b)+(a+b)=2a \Longrightarrow (a-b)(a+b)= a^{2} - b^{2}$
همانطور که فرمول فوق نشان میدهد، با $a$ و $b$ حقیقی مجموع همیشه ثابت است ولی با بزگ شدن فاصله دو عدد توسط $b$ حاصلضربشان کوچکتر میشود.

---

خیلی ممنون. اما میخوام که بدون در نظر گرفتن فرد بودن و در مجموعه اعداد حقیقی اثبات شه، شاید باید طرح سوالم رو اصلاح کنم

---

سوال اصلاح شد

---

@Ramtin با درود: حتماً با مفهوم اپسیلون$e$ بمعنای حداقل مقدار و اصل خوشترتیبی اعداد حقیقی آشنا هستید.در فرمول $1$ اگر $a,b$ را عددی حقیقی و $b$ را مینیموم فاصله درنظر بگیریم، بازهم مشاهده میشود که با بزرگ شدن فاصله توسط $b$ حاصلضرب کوچک میشود.

---

درود ، آیا روشی هندسی هم در نظر دارید غیر از این؟

---

تصویر بارگذاری شده در پیوند زیر را نگاه کنید: ![][1]
 [1]: https://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=7264813139703663194
این نمودار با نرم افزار geogebra classic تهیه شده است و در playstore گوگل موجود است. به نمودار فوق توجه کنید. حاصل جمع $2x$ همیشه ثابت است ولی همانطور که در نمودار مشخص است با بزرگ شدن فاصله توسط جمله دوم، حاصلضربشان که با محور y نمایان است، کوچکتر میشود. امیدوارم مفید باشد. با آرزوی موفقیت برایتان.
@Ramtin با عرض معذرت نرم افزار فوق عدد $e$ را عدد نپری(در لگاریتم طبیعی) درنظر گرفته. ولی با عددگذاری از $ \sqrt{3 } $ و $ \sqrt{8} $ و $ \sqrt{15} $ بجای $e$ میتوان دید که هرچه $e$ بزرگتر میشود، مقدار $y$ یعنی حاصلضربشان کوچکتر میشود. جوابها و نمودار اصلاح شد.

---

خیلی ممنونم از لطف شما

---

@Ramtin نمودار و جوابها اصلاح شد.

---

@Ramtin با درود: طرح اولیه سؤالتان درست تر بود. اگر جمع دو عدد $x$ و $y$ مقدار ثابتی مانند $k$ داشته باشد، هیچگاه نمیتوانند با دو اختلاف $m$ و $n$ ظاهر شوند. بیایید این موضوع را با عددگذاری بررسی کنیم. اگر $x=11$ و $y=5$ باشد، حاصل جمعشان $k=16$ خواهد بود و و یک اختلاف بیشتر نمیتوانند داشته باشند و آن $11-5=6$ خواهد بود. بنابراین نمیتوانند دو نوع اختلاف $m$ و $n$ داشته باشند. ولی چنانچه بدنبال جواب ساده سؤال اولیه خود هستید، بصورت نمودار عددگذاری شده با اعداد گنگ هم قابل اثبات است و آنرا در بخش پاسخ قرار خواهم داد. البته اگر مایل باشید و سؤالتان را بطور دقیق بیان کنید.

---

درود. بله خودم هم به این پی برده بودم فقط میخواستم پیچیده ترش نکنم. ولی بله صحیح میفرمایید سوال رو اصلاح می کنم

---

@Ramtin توضیحات به بخش پاسخ منتقل شد.

Answer 1

@Ramtin

با سلام مجدد: بیاییم طرح جدید سؤال را بروی محور اعداد ببریم تا واضحتر موضوع را بررسی کنیم. همه متغیرها را طبق تعریف خودتان بروی محور آورده ام. همانطور که می بینیم $a+b=x+y=k$ میباشد. و $x-y=m=5$ و $a-b=n=13$ و $m<n$ است. حال اگر دقت کنید، هنگامیکه مجموع دو جفت عدد $x+y$ و $a+b$ بصورت دوبدو مساوی $k$ میشود، باید بدنبال عددی باشیم که نقطه تقارن بین جفتهای فوق باشند و آن نقطه همیشه مساوی $k/2$ است. فرقی نمیکند متغیرهایمان فرد، زوج، گویا یا گنگ باشند. این مطلب همیشه برقرار است. بنابراین نقطه تقارن جفتهای عددی فوق $9.5$ است. بدین ترتیب باز به طرح اولیه سؤال خودتان رسیدیم ولی با دور سر گرداندن لقمه مان. زیرا داریم:

$(9.5-2.5)+(9.5+2.5)=19$

$(9.5-6.5)+(9.5+6.5)=19$

و حاصلضربشان با اتحاد مزدوج میشود

$(9.5-2.5)(9.5+2.5)=9.5^2-2.5^2$

$(9.5-6.5)(9.5+6.5)=9.5^2-6.5^2$

و چون در محاسبه دوم عدد بزرگتری از $ 9.5^{2} $ کم میشود، حاصلضرب کوچکتر خواهد بود. بنابراین با متغیرهای دلخواه زیر همیشه داریم:

$(a-b)+(a+b)=2a$

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

حال اگر مانند نمونه عددی فوق، عدد بزرگتری بجای $b$ قرار دهیم مجموع همان $2a$ باقی میماند ولی در معادله دوم چون عدد بزرگتری از $a^2$ کم میشود، حاصلضرب کوچکتر میشود. دقت کنید که مجموع $2a$ بمعنی زوج بودن نیست و متغیرهای معادلات فوق در مورد هر عدد حقیقی صدق میکند.