معادله ریاضی صفحهٔ مارپیج چیست؟

Question

صفحه‌ای را حول خط عمودی‌ای از آن می‌پیچانیم تا شبیه به خم مارپیچ تاب بخورد (شکل زیر را ببینید). معادلهٔ این شکل چیست؟

Comments

@محمد فلاح اگر اشتباه نکنم این شکلی که کشیدید شبیه به مارپیچ چرخگوشته ولی ضخامت بالا و پایینش مساویه. شاید تو کتابهای مجموعه فرمولهای ریاضیات برای مهندسی بشه پیداش کرد. اگر موفق شدم و پیداش کردم معرفی میکنم.

---

@محمد فلاح
مرجعی پیدا کردم بزبان انگلیسی و در کشاورزی کاربرد داره. تمام فرمولهای مربوط به ساخت این وسیله را دارد. با ابعاد دلخواه. نمیدونم بدرد کار شما میخوره یا نه. اگر بدونم کاربرد این وسیله چیه با تسلط بزبان انگلیسی مرجعش رو سریع پیدا میکنم.

Answer 1

خیلی راحت، خم مارپیچ را چگونه می‌نوشتید؟ $(\cos t,\sin t,t)$ که $t$ تغییر می‌کرد. به ازای هز مقدار از $t$ که بلندی (ارتفاع) خم‌تان بود یک نقطه داشتید در جهت بردار $(\cos t,\sin t)$ که از محور $z$ها ۱ واحد فاصله دارد. اکنون شما چه می‌خواهید؟ به حای یک نقطه یک خط یا پاره‌خط می‌خواهید. پس به جای $1\cdot(\cos t,\sin t)$ کافیست $s\cdot (\cos t,\sin t)$ را بردارید و $s$ را روی $\mathbb{R}$ در حالت خط و یا روی یک بازه در حالت پاره‌خط تغییر دهید. پس در حالت خم مارپیچ شما یک ضابطهٔ پارامتری تک‌پارامتره داشتید و در حالت صفحهٔ مارپیچ شما یک ضابطهٔ پارامتری دو پارامتره دارید.

$$(s\cos t,s\sin t,t)$$

برای نمونه در زیر صفحهٔ مارپیج برای $0\leq t\leq 5$ و $-1\leq s\leq 1$ را می‌بینید.

plot3d([s*cos(t), s*sin(t), t], s = -1 .. 1, t = 0 .. 5, color = yellow, view = [-2 .. 2, -2 .. 2, 0 .. 5])