Question

اگر $x^{y} = y^{x}$ باشد، آنگاه مشتق $y$ نسبت به $x$ چیست؟ آیا مشتق ضمنی است و از طریق تابع نمایی باید حل شود؟ چطوری از طریق $\ln$ حل می‌شود؟

Comments

@بهرامی۲۰۱ مشخصات مرجع را باید کامل بنویسید تا به طور یکتا مشخص شود و خواننده بتواند آن را پیدا کند. کنکور در سال‌های متفاوت برگزار می‌شود و سوالات هر سال با سال پیشینش یکسان نیست پس باید سال کنکور را هم اشاره کنید. احیانا اگر مشخصات دیگری نیز نیاز دارد آنها را هم باید قید کنید مثلا دولتی یا آزاد و غیره. متن پرسش را هم برایتان ویرایش کردم، در اطراف فرمول‌های ریاضی باید از علامت دلار `$` استفاده کنید. به این پست نگاه کنید https://math.irancircle.com/56

Answer 1

از دو طرف ln می گیریم: $ y.ln(x)=x. ln(y) $ و از دوطرف مشتق می گیریم

$ y'.ln(x)+ \frac{y}{x}=ln(y)+\frac{xy'}{y} $

$y'= \frac{ln(y)-\frac{y}{x}}{ln(x)-\frac{x}{y}} $

اگر صورت ومخرج را در $ x^y$ ضرب کنیم سپس در جمله اول صورت به جای $ x^y$ ,

$ y^x $ و در مخرج در جمله دوم به جای $ x^y$ ,

$ y^x $قرار دهیم:

$ y'= \frac{y^xln(y)-y. x^{y-1}}{x^yln(x)-x . y^{x-1} } $

Answer 2

بنام خدا.از دو طرف نسبت به x مشتق می گیریم:

$ \frac{d( x^{y} )}{dx} = \frac{d( y^{x}) }{dx} $قبل از مشتق گیری از فرمول زیر استفاده می کنیم $ x^{y} = e^{ln x^{y} } = e^{ylnx} $ وفرمول $ ( e^{u})' =u' e^{u} $

$ \frac{d( e^{ylnx}) }{dx}= \frac{d( e^{xlny}) }{dx} =( y' lnx+ \frac{y}{x}) e^{ylnx}=( y' lnx+ \frac{y}{x}) e^{xlny} = x^{y} ( y' lnx+ \frac{y}{x})= y^{x}( y' lnx+ \frac{y}{x}) $حال اگر این معادله را بر حسب $ y' $ حل کنیم داریم

$ y' = \frac{ y^{x}lny-y x^{y-1} }{ x^{y}lnx-x y^{-1+x} } $