به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
188 بازدید
در دانشگاه توسط بهرامی201 (1 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

اگر $x^{y} = y^{x}$ باشد، آنگاه مشتق $y$ نسبت به $x$ چیست؟ آیا مشتق ضمنی است و از طریق تابع نمایی باید حل شود؟ چطوری از طریق $\ln$ حل می‌شود؟

مرجع: سوال 134 کنکور ارشد MBA
توسط AmirHosein (18,537 امتیاز)
@بهرامی۲۰۱ مشخصات مرجع را باید کامل بنویسید تا به طور یکتا مشخص شود و خواننده بتواند آن را پیدا کند. کنکور در سال‌های متفاوت برگزار می‌شود و سوالات هر سال با سال پیشینش یکسان نیست پس باید سال کنکور را هم اشاره کنید. احیانا اگر مشخصات دیگری نیز نیاز دارد آنها را هم باید قید کنید مثلا دولتی یا آزاد و غیره. متن پرسش را هم برایتان ویرایش کردم، در اطراف فرمول‌های ریاضی باید از علامت دلار `$` استفاده کنید. به این پست نگاه کنید https://math.irancircle.com/56

2 پاسخ

+3 امتیاز
توسط good4us (7,068 امتیاز)

از دو طرف ln می گیریم: $ y.ln(x)=x. ln(y) $ و از دوطرف مشتق می گیریم

$ y'.ln(x)+ \frac{y}{x}=ln(y)+\frac{xy'}{y} $
$y'= \frac{ln(y)-\frac{y}{x}}{ln(x)-\frac{x}{y}} $

اگر صورت ومخرج را در $ x^y$ ضرب کنیم سپس در جمله اول صورت به جای $ x^y$ ,

$ y^x $ و در مخرج در جمله دوم به جای $ x^y$ ,

$ y^x $قرار دهیم:

$ y'= \frac{y^xln(y)-y. x^{y-1}}{x^yln(x)-x . y^{x-1} } $
+2 امتیاز
توسط mdardah (1,614 امتیاز)

بنام خدا.از دو طرف نسبت به x مشتق می گیریم:

$ \frac{d( x^{y} )}{dx} = \frac{d( y^{x}) }{dx} $قبل از مشتق گیری از فرمول زیر استفاده می کنیم $ x^{y} = e^{ln x^{y} } = e^{ylnx} $ وفرمول $ ( e^{u})' =u' e^{u} $

$ \frac{d( e^{ylnx}) }{dx}= \frac{d( e^{xlny}) }{dx} =( y' lnx+ \frac{y}{x}) e^{ylnx}=( y' lnx+ \frac{y}{x}) e^{xlny} = x^{y} ( y' lnx+ \frac{y}{x})= y^{x}( y' lnx+ \frac{y}{x}) $حال اگر این معادله را بر حسب $ y' $ حل کنیم داریم

$ y' = \frac{ y^{x}lny-y x^{y-1} }{ x^{y}lnx-x y^{-1+x} } $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...