رابطه ادوارد وارینگا در تجزیه چندجمله ایهای متقارن بیان میکند که یک چندجمله ای متقارن را با با تغیر متغیر $z:=x+ \frac{x}{x} $ تجزیه کرد(جزئیات در همان کتابی که منبع سوال است آمده است).
این چندجمله ای چون از درجۀ فرد است فاکتور $(x+1)$ دارد:
$x^5+2x^4+3x^3+3x^2+2x+1=(x+1)(x^4+x^3+2x^2+x+1)$
حالا اگر بخواهیم معادله را حل کنیم داریم:
$(x+1)(x^4+x^3+2x^2+x+1)=0 \Rightarrow x+1=0 \vee x^4+x^3+2x^2+x+1=0$
$if :x+1=0 \Rightarrow x=-1$
$if: x^4+x^3+2x^2+x+1=0 \Rightarrow x^2[(x^2+ \frac{1}{x^2})+x^2(x+ \frac{1}{x} )+2]=0$
چون $x \neq 0$ پس داریم:
$(x^2+ \frac{1}{x^2})+(x+ \frac{1}{x} )+2=0$
حالا قرار دهید:
$z=x+ \frac{1}{x} \Rightarrow z^2=(x+ \frac{1}{x} )^2=x^2+ \frac{1}{x^2}+2x \frac{1}{x}=x^2+ \frac{1}{x^2}+2 \Rightarrow x^2+ \frac{1}{x^2}=z^2-2$
$z^2-2+z+2=0 \Rightarrow z^2+z=0 \Rightarrow z(z+1)=0 \Rightarrow z=0 \vee z+1=0$
$x+ \frac{1}{x}=0 \vee x+ \frac{1}{x}=-1 \Rightarrow x^2+1=0 \vee x^2+x+1=0 $
این معادلات اخیر در دستگاه اعداد حقیقی جواب ندارند اما در دستگاه اعداد مختلط جواب دارند.
$ \Box $
