بنام خدا.اگر جمله چهارم دنباله حسابی رابا$ a_{4} $ نشان دهیم داریم $ a_{4} =a+3d$ که درآن a جمله اول دنباله حسابی وd قدر نسبت است.وچون $a_{4} $ و $ a_{6} $ و $ a_{12} $ دنباله هندسی است داریم:
جمله وسط واسطه هندسی دو جمله دیگر است یعنی $ (a+5d)^{2} =(a+3d)(a+11d)$
$ a^{2} +25 d^{2} +10ad= a^{2} +11ad+3ad+33 d^{2} \Longrightarrow 8 d^{2} +4ad=0 \Longrightarrow d(8d+4a)=0 $
$ \Longrightarrow d=0 $ یا $ d= \frac{-a}{2} $
اگر d=0باشد جواب رابدیهی گویند یعنی همه جملات اگر مساوی باشند جواب مسئله است
اگر $d= \frac{-a}{2} \Longrightarrow a=-2d $باشددراین صورت قدرنسبت دنباله هندسی برابر است با
$ \frac{a+5d}{a+3d} = \frac{-2d+5d}{-2d+3d}= \frac{3d}{d}=3 $
