Question

همه ی اعداد حقیقی x را بیابید به طوری که:

$3^{x} +4^{x} +5^{x} =6^{x}$

اگر دو طرف معادله را بر$5^x$ تقسیم کنیم، سمت راست تابعی اکیدا صعودی و سمت چپ تابعی اکیدا نزولی خواهد بود.

Comments

@Elyas1 و @AmirHosein و @shadow_ali با درود به همه اساتید محترم: برای کمک به این مطلب بد ندیدم نمودار زیر را که با geogebra classic تهیه شده، وارد کنم.
![توضیحات تصویر][1]
[1]: https://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=8828751423589455937
همانطور که دیده میشود، از نقطه c به مختصات [0،2] تا نقطه b به مختصات [2.36,15.73] تابع صعودی است و از نقطه b به بعد تابع اکیداً نزولی است. راه حل جبری دوست گرامی را در سایت microsoft math solver هم میتوان دید. با آرزوی موفقیت برای همه دوستان.

---

با استفاده از نرم‌افزار Wolfram Mathematica متوجه می‌شویم که تنها جواب معادله عدد $3$ است. هیچ مقدار دیگری برای $x$ وجود ندارد که در معادله صدق کند، این معادله تنها یک جواب دارد.

Answer 1

سلام، خسته نباشید. روش حل خودتون درسته. اما برای تقسیم، مورد اشتباهی رو انتخاب کردید.

بهتر است تمامی موارد را به $6^x$ تقسیم کنیم. در این صورت خواهیم داشت:

$$( \frac{3}{6})^{x}+( \frac{4}{6})^{x}+( \frac{5}{6})^{x}=( \frac{6}{6})^{x} $$

که با ساده‌تر نوشتن به این می‌رسیم:

$$( \frac{1}{2})^{x}+( \frac{2}{3})^{x}+( \frac{5}{6})^{x}= 1^x$$

می‌دانیم که یک به توان هر عدد برابر یک می‌باشد. همچنین در طرف دیگر معادله جمع سه تابع به صورت تابع نمایی از نوع نزولی می‌باشد. پس با تشکیل دادن سه ناحیه معادله را بررسی می‌کنیم:

\begin{align} x <3 &\Rightarrow ( \frac{1}{2})^{3^-}+( \frac{2}{3})^{3^-}+( \frac{5}{6})^{3^-} \ne 1\\ x >3 &\Rightarrow ( \frac{1}{2})^{3^+}+( \frac{2}{3})^{3^+}+( \frac{5}{6})^{3^+} \ne 1\\ x =3 &\Rightarrow ( \frac{1}{2})^{3}+( \frac{2}{3})^{3}+( \frac{5}{6})^{3}= 1 \surd \end{align}

راه حل دیگر را می‌توان اینطور پیش گرفت که اعداد آزمایشی درون آن قرار دهید تا به پاسخ برسید.

Comments

ممنون از شما.
با عدد گذاری متوجه شدید مثلاً اگر x<3 باشد آنگاه1 < (f(x ؟

---

@Elyas1
بله. ولیکن عدد گذاری ساده ای داره. چون به راحتی میتونیم از این قضیه که اعداد بین صفر و یک هرچه به توان بزرگتری برسند کوچک تر میشوند. به راحتی تشخیص عدد داد

---

@َAmirhosein
با سلام. پاسخ اصلاح شد.
جسارتا درخواستی داشتم: با توجه به این که بسیاری از دوستان سوالاتی رو قرار میدن ولیکن به سهوا یا عمدا به پاسخ ارسالی. اظهار نظر نمیکنند. از حضرتعالی تقاضا میره که. با توجه به این که خودتون این توانایی انتخاب پاسخ یا رد پاسخ رو دارید... خودتون این زحمت رو بکشید(در صورت فراموشی توسط پرسشگر).. نمونه های اینطور هم بسیار زیاده. با تشکر

Answer 2

چون برای نوشتن کمی تنبلی‌ام می‌آید از یکی از دیدگاه‌های @mdgi نقل می‌کنم (:

"وقتی تابعی مانند$ f$ در بازه ای مشتق پذیر باشد و تعداد ریشه های$ f′ $مساوی $n $باشد، تابع $f $حداکثر $n+1 $ریشه دارد. یک حالت خاص: وقتی تابعی مانند $f$ در بازه‌ای مشتق پذیر باشد و مشتق این تابع همواره مثبت[یا همواره منفی] باشد (درآن بازه) ، در این صورت تابع $f $اکیدا صعودی[اکیدا نزولی] است بنابراین تابع $f$ حداکثر یک ریشه دارد." قسمت‌هایی که درون [ ] نوسته شده خودم اضافه کرده‌ام

خب با تشکر از @mdgi برویم سراغ حل مسئله به روش mdgi ایی (:

از تابع مشتق می‌گیریم. داریم:

$$f(x)=3^x+4^x+5^x-6^x$$

$$f'(x)=ln(3).3^x+ln(4).4^x+ln(5).5^x-ln(6).6^x$$

خب این یک تابع اکیدا نزولی است. پس f حداکثر یک ریشه دارد. که آن هم $x=3 $ است.

@AmirHosein بگوید آیا این جواب اشتباهی دارد؟

Comments

@Elyas1 تعریف برابری دو تابع چیست؟! ابتدا باید دامنه برابر داشته باشند در درجه اول و بعد باید ضابطه آنها پس از ساده کردن برابر شود. پس چطور دو تابع که یکی صعودی است و دیگری نزولی با هم برابر می‌شوند؟ به تعریف برابری دو تابع دقت کنید

---

@Elyas1 پرسشی که در دیدگاه زیر این پاسخ پرسیده‌اید یک پرسش مجزاست و باید در قالب یک پست پرسش جدید ارسال کنید. چون در این پاسخ از چنین چیزی که پرسیده‌اید استفاده نشده‌است و پرسش اصلی‌تان نیز این نبوده است. البته @sMs پاسخ‌تان را داده‌اند. احتمالا منظورتان به جای برابر بودن دو تابع، معادله‌ای است که در یک طرف یکی و در طرف دیگر دیگری را گذاشته‌اید و می‌خواهید این معادله را حل کنید.

---

@sMs دیدگاه یادشده از @mdgi در این صفحه نیست لذا پیوندی از دیدگاه یاد شده قرار دهید.

---

بله صحیح می فرمایید

---

@AmirHosein  من اکنون منبع سوال را دیدم.
در قسمتی از جواب این سوال نوشته شده است که ( سمت راست معادله ی فوق تابعی اکیدا صعودی بر حسب x است، در صورتی که سمت چپ آن تابعی اکیدا نزولی برحسب x است. در نتیجه نمودار آن ها حداکثر در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند.) من سوالم این بود که چرا حداکثر در یک نقطه؟یعنی امکان ندارد همدیگر را در دو نقطه قطع کنند؟ ولی درست می فرمایید، نباید اینجا می پرسیدم.