یه مجموعه بی کران دلخواه درR وثابت کنید فشرده نیست

Question

فرض میکنیم مجموعه بی کران داریم و اثبات میکنیم فشرده نیست ابتدا مجموعه بی کران فرض میکنیم وبعد اثبات میکنیم فشرده نیست با استفاده از تعریف کرانداری و فشردگی میتوانیم اثبات کنیم

Comments

@mina78 یک: کتابی با عنوان «رودین» نداریم، احتمالا منظورتان کتاب ؟؟ نوشتهٔ رودین است که باید گفت آقای والتر رودین تنها یک کتاب ننوشته‌اند، مرجع‌دهی به این شکل است «کتاب -دقیقا عنوان کتاب- نوشتهٔ -دقیقا نام نویسنده- ترجمهٔ -دقیقا نام مترجم-» گاهی نام انتشارات، سال چاپ یا شمارهٔ ویرایش نیز مهم است.
بعلاوه پرسش را تلگرافی نپرسید، در چه توپولوژی یا متریکی؟ جملهٔ دوم‌تان در متن پرسش چه کاری می‌کند؟ جملهٔ اول را تکرار می‌کند؟ در حال حل کردن است؟ متوجه نمی‌شوم. یک بار پرسش‌تان و عنوان و مرجع‌اش را ویرایش کنید.

Answer 1

فرض کنید که $A$ در $R$ بیکران است پس:

$ \forall M \in R^+ \exists a \in A: | a | >M$

حالا پوشش باز $(-n,n)$ برای $A$ را در نظر بگیرید.واضح است که:

$A \subseteq R=\cup (-n,n)$

که اجتماع روی تمام اعداد طبیعی است.لذا طبق تعریف این پوشش باید یک زیر گوشش متناهی داشته باشد که اگر $m$ را بزرگترین عدد طبیعی بگیریم که $(-m,m)$ در این زیرپوشش باشد آنگاه $A \subseteq (-m,m)$ حالا طبق تعریف بیکرانی :

$ \exists a \in A: | a | >m \bot $

$ \Box $