فرض کنید که $A$ در $R$ بیکران است پس:
$ \forall M \in R^+ \exists a \in A: | a | >M$
حالا پوشش باز $(-n,n)$ برای $A$ را در نظر بگیرید.واضح است که:
$A \subseteq R=\cup (-n,n)$
که اجتماع روی تمام اعداد طبیعی است.لذا طبق تعریف این پوشش باید یک زیر گوشش متناهی داشته باشد که اگر $m$ را بزرگترین عدد طبیعی بگیریم که $(-m,m)$ در این زیرپوشش باشد آنگاه $A \subseteq (-m,m)$ حالا طبق تعریف بیکرانی :
$ \exists a \in A: | a | >m \bot $
$ \Box $
