در واقع علت بسته نبودن آن این است که نه تنها نقطهٔ حدی خارج از خودش دارد بلکه در کل اعداد حقیقی چگال است. اثبات آن نیز به این خاط است که
حقیقت یک: این مجموعه یک زیرگروه از گروه اعداد حقیقی با عمل جمع است.
حقیقت دو: میتوان عضوی از این مجموعه به هر اندازهٔ دلخواه نزدیک به صفر یافت.
حقیقت سه: هر زیرگروه جمعی از اعداد حقیقی یا چگال است یا اینفیمم اعضای مثبتش (صفر مثبت نیست) مخالف صفر میشود.
اثبات ادعاها:
ادعای یک: چون این مجموعه زیرمجموعهای ناتهی از اعداد حقیقی است (برای نمونه $0+0\alpha=0\in\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\alpha$ ) پس میتوان از محک زیرگروه بودن استفاده کرد.
$$(a_1+b_1\alpha)-(a_2+b_2\alpha)=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)\alpha$$
ادعای دو:
اینفیمم اعضای مثبت این مجموعهٔ جدید را $x$ بنامید. ثابت میکنیم که $x=0$.
فرض کنید x مخالف صفر باشد. پس هیچ عضوی از این مجموعه در $(0,x)$ قرار ندارد. با کمک ویژگی اینفیمم به ازای هر $\epsilon>0$ عضوی از $B$ هست مانند $y$ که $x\leq y<x+\epsilon$. اگر x عضو این مجموعه نباشد میتوان نامساوی سمت چپ را اکید گرفت. بفرض اینگونه باشد. اکنون $\epsilon$ را کوچکتر از $x$ بگیرید برای نمونه $\frac{x}{2}$ و یک عضو مانند $y$ که فاصلهاش از $x$ کمتر از $\epsilon$ باشد از این مجموعه بردارید. یک بار دیگر $\epsilon$ را کمتر از فاصله بین $x$ و $y$ بگیرید و عضو دیگری به همان روش انخاب کنید و $y'$ بنامید. پس
$$x<y'<y<x+\frac{x}{2}$$
اما از این میتوان نتیجه گرفت که
$$0< y-y'<\frac{x}{2}<x$$
از طرفی در قسمت یکم دیدیم این مجموعه یک زیرگروه جمعی است پس $y-y'$ عضوی از این مجموعه است. چون هیچ عضوی از این مجموعه به طور اکید بین صفر و x نیست به تناقض برخوردهایم پس باید x عضو مجموعهمان باشد.
اینک یک عضو مثبت دلخواه از این مجموعه را بردارید و $z$ بنامید. از ویژگیهای جزء صحیح داریم
$$[\frac{z}{x}]x\leq z<([\frac{z}{x}]+1)x$$
پس
$$0\leq z-[\frac{z}{x}]x<x$$
اما دوباره چون هیچ عضوی اکید بین صفر و x از این مجموعه نداریم و از گروه بودن این مجموعه $z-[\frac{z}{x}]x$ درون این مجموعه میافتد باید برابر صفر شود ولی این به این معناست که تمامی عناصر مثبت این مجموعه ضریب صحیحی از یک عضو میشوند که نادرست است. در واقع این گروه، گروه دوری آزاد تولید شده با $\{1,\alpha\}$ است، بنابراین نمیتواند با یک عنصر تولید شود. پس به تناقض برخوردهایم و بیاد $x=0$.
ادعای سوم: اگر اینفیمم صفر نباشد که از گام پیشین میتوانید ببینید چرا باید گروهمان دوری شود. پس به سراغ حالتی میرویم که اینفیمم صفر شدهاست.
چون اینفیمم اعضای مثبت صفر است پس برای هر $\epsilon>0$ میتوان عضوی مانند u از این مجموعه یافت که $0<u<\epsilon$. چون مجموعهٔ $\{...,-3u,-2u,-u,0,u,2u,3u,...\}$ از بالا و پائین بیکران است برای هر عدد حقیقی r میتوان عدد طبیعیای یافت که
$nu\leq r<(n+1)u$ زمانیکه r مثبت است و یا $-(n+1)u<r\leq -nu$ پس
$$|r-nu|<u<\epsilon$$
اما میتوان $\epsilon$
را کوچک و کوچکتر کرد و دنبالهای از $nu$ ها که $u$ و $n$ وابسته به $\epsilon$ اند یافت که چون مجموعهمان گروه است $nu$ ها نیز درونش قرار دارند. پس برای هر عدد حقیقی دلخواه توانستیم دنبالهای از اعضای مجموعهمان بیابیم که به آن میل کند.
تکمیل پاسخ
در بالا نشان دادیم که بستار این مجموعه با متریک معمولی، کل اعداد حقیقی میشود اما ممکن است فردی بپرسد که «آیا این مجموعه خودش برابر کل اعداد حقیقی نمیشود؟» اگر این رویداد رخ دهد آنگاه این مجموعه بسته میشود. سادهترین روش برای رد این رویداد این است که توجه کنیم که این مجموعه در تناظر دوسویی با مجموعهٔ $\mathbb{Z}^2$ است که شماراست در حالیکه مجموعهٔ اعداد حقیقی ناشماراست. پس این مجموعه نمیتواند کل اعداد حقیقی باشد.
