به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
65 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Elyas1 (2,266 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

می‌دانیم که برای هر عدد حقیقی مانند $x$ عدد صحیح $k$ و عدد حقیقی$ \alpha $ای وجود دارند که:

$$x=2kπ+ \alpha $$

و بعلاوه داشته‌باشیم $0\leq\alpha < 2\pi$. اماچگونه می‌توان این مطلب را اثبات کرد؟

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
انتخاب شده توسط Elyas1
 
بهترین پاسخ

فرض کنید $x$ یک عدد حقیقی دلخواه ولی ثابت است. ادعا می‌کنیم که اگر قرار دهیم $k=[\frac{x}{2\pi}]$ و $\alpha=x-2\pi k$ آنگاه داریم که

  1. $x=2k\pi+\alpha$.
  2. $k\in\mathbb{Z}$.
  3. $\alpha\in [0,2\pi)$.

تعریف جزء صحیح را به یاد آورید. برای یک عدد حقیقیِ $a$ داریم $[a]$ عدد صحیح یکتایی است که در $[a]\leq a< [a]+1$ صدق کند. پس در همین لحظهٔ نخست گزینهٔ دوم ادعایمان بدیهی می‌شود. توجه کنید که روشن است که $\frac{x}{2\pi}$ یک عدد حقیقی است.

با توجه به تعریف جزء صحیح و نحوهٔ تعریف $k$ داریم $k\leq \frac{x}{2\pi}< k+1$ پس با کاستن $k$ از هر سه طرف داریم $0\leq \frac{x}{2\pi}-k< 1$. اکنون هر سه طرف را در $2\pi$ ضرب کنید. داریم $0\leq x-2k\pi< 2\pi$ که یعنی $0\leq\alpha< 2\pi$ که مورد سوم ادعایمان است. اما چرا مورد یکُم برقرار است؟ خیلی بدیهی است کافیست جایگذاری کنیم، اصلا $\alpha$ را خودمان طوری تعریف کردیم که برابری برقرار شود.

$$2k\pi+\alpha=2k\pi+(x-2k\pi)=x$$
توسط Elyas1 (2,266 امتیاز)
+1
خیلی ممنونم.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...