چگونه می توان ثابت کرد که برای هر عدد حقیقی، یک دنباله از اعداد گویا وجود دارد که به آن میل می کند؟

Question

با سلام چگونه ثابت می‌شود که

برای هر عدد حقیقی $x$ وجود دارد یک دنباله از اعداد گویا مانند $\lbrace r_n\rbrace_{n\in\mathbb{N}}$ به طوری که $\lim_{n\to\infty}r_n=x$.

خیلی ممنون .

Answer 1

فرض کنید $x$ یک عدد حقیقی دلخواه است حال به ازای هر عدد طبیعی $n$ عدد گویایی چون $r_{n}$ بین دو عدد حقیقی $x+ \frac{1}{n+1}$ و $x+ \frac{1}{n}$ وجود دارد ( زیرا بین هر دو عدد حقیقی حداقل یک عدد گویا قرار دارد ) . به این ترتیب به دنباله ای از اعداد گویا چون $\lbrace r_{n} \rbrace$ میرسیم که به عدد $x$ میل می کند . حال اثبات می کنیم دنباله مذکور به عدد $x$ میل می کند . برای این کار باید ثابت کنیم : $$\forall \varepsilon > 0\ \ \ \exists n_{1} \in N : n \geq n_{1} \Longrightarrow \mid r_{n} -x \mid < \varepsilon$$ فرض کنید $\varepsilon > 0$ طبق لم ارشمیدس عدد طبیعی $n_{1}$ وجود دارد به طوری که $\frac{1}{n_{1}} < \varepsilon$ حال فرض کنید $n \geq n_{1}$ پس داریم : $$\mid r_{n} -x \mid < \mid x+ \frac{1}{n} -x \mid = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{ n_{1} } < \varepsilon$$

بنابراین دنباله مذکور به عدد $x$ میل می کند .