فرض کنید $x$ یک عدد حقیقی دلخواه است حال به ازای هر عدد طبیعی $n$ عدد گویایی چون $ r_{n} $ بین دو عدد حقیقی $x+ \frac{1}{n+1} $ و $x+ \frac{1}{n} $ وجود دارد ( زیرا بین هر دو عدد حقیقی حداقل یک عدد گویا قرار دارد ) . به این ترتیب به دنباله ای از اعداد گویا چون $ \lbrace r_{n} \rbrace $ میرسیم که به عدد $x$ میل می کند . حال اثبات می کنیم دنباله مذکور به عدد $x$ میل می کند . برای این کار باید ثابت کنیم :
$$ \forall \varepsilon > 0\ \ \ \exists n_{1} \in N : n \geq n_{1} \Longrightarrow \mid r_{n} -x \mid < \varepsilon $$
فرض کنید $ \varepsilon > 0$ طبق لم ارشمیدس عدد طبیعی $ n_{1} $ وجود دارد به طوری که $ \frac{1}{n_{1}} < \varepsilon $ حال فرض کنید $n \geq n_{1}$ پس داریم :$$ \mid r_{n} -x \mid < \mid x+ \frac{1}{n} -x \mid = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{ n_{1} } < \varepsilon $$
بنابراین دنباله مذکور به عدد $x$ میل می کند .
