به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
3,281 بازدید
در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط fardina

با سلام یه سوالم دارم وقتی عددی رو به توان یه عدد گنگ می رسونیم چطور حاصلش محاسبه میشه میدونم مثلا براش دنباله مینویسن مد نظرم اینه حاصلشو چطور به دست میارن مثلا رادیکال 2 به توان رادیکال دو یا دو به توان رادیکال دو ودر کل توان گويا و گنگ رو چگونه محاسبه میکنند؟با تشکر

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط fardina

خوب خودتون جواب خودتون رو دادید تقریبا.

اگر به این سوال و جواب هایی که داده شده نگاه کنید گفتیم که برای مثلا $2^\sqrt 2$ ابتدا دنباله ای در نظر میگیریم از اعداد گویا که به $\sqrt 2$ همگرا باشد.

این دنباله از جمله میتونه دنباله بسط اعشاری $\sqrt 2$ باشه. یعنی $$r_n=1, 1.4, 1.41, 1.414,...2^\sqrt 2$$

بنابراین اگر بخواهیم $ 2^\sqrt 2 $ را تخمین بزنیم در اینصورت کافی است دنباله $2^{r_n}$ رو در نظر بگیرید

اگر جمله اول تقریب رو در نظر بگیرید خواهیم داشت $2^1=2$

اگر جمله دوم تقریب را در نظر بگیرید خواهیم داشت $2^{1.4}=2^{\frac {14}{10}}=2.639.2$

اگر جمله سوم را در نظر بگیریم در اینصورت $2^{1.41}=2^{\frac{141}{100}}=2.65737$

و به همین ترتیب می توانیم ادامه دهیم. مقدار $2^\sqrt 2$ برابر است با $ 2.66514...$

from wolframalpha

پس اگر توجه کنید کافی است که ما بلد باشیم ریشه های $n$ ام یک عدد رو بدست بیاریم. که الگوریتم کلی هم برای اینگونه مواقع وجود دارد(اینجا رو نگاه کنید). در واقع برای هر عدد حقیقی $A>0$ مقدار $\sqrt[n]A$ از دنباله زیر به دست می آید: $$x_{k+1}=\frac 1n((n-1)x_k+\frac{A}{x_k^{n-1}})$$ که در اینجا باید $x_0$ یک حدس اولیه باشد.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...