آیا عددِ $1.2345$ با عددِ $1.234$ برابر است؟
خیر! علت؟ تفاضل این دو عدد صفر نیست، عدد نخست در واقع بزرگترِ اکید از عدد دوم است.
اکنون از خودتان بپرسید آیا عدد $\pi$ با هیچ یک از عددهایی که گفته‌اید برابر است؟ خیر. شما یک دنباله از عددهای گویا ساخته‌اید که تفاضل هر عضو آن از عدد $\pi$ از تفاضل عضو قبلی و $\pi$کوچکتر می‌شود. خیلی هم عالی. ولی آیا تفاضل $\pi$ با هیچ یک از این عددها صفر هم می‌شود؟ پس تا اینجا فقط با داشتن این دنباله‌ای که ساخته‌اید هیچ چیزی در مورد گنگ یا گویا بودنِ $\pi$ ثابت نمی‌شود.
اگر گزاره‌ای مانندِ «حدِ یک دنباله از عددهای گویا، عددی گویا می‌شود» را ثابت کرده‌بودید، آنگاه این دنباله‌ای که ساختید بعلاوهٔ این گزاره با هم نتیجه خواهند داد که $\pi$ گویا است. اما آیا چنین گزاره‌ای را ثابت کرده‌اید؟ اگر بلی اثباتش را در بالا اضافه کنید، یا اگر فرد دیگری ثابت کرده‌است و در کتاب یا مقاله‌ای آورده‌شده‌است، مشخصات آن مرجع را بیفزائيد.
در اینجا خیلی سریع و راحت برایتان نشان می‌دهیم که این گزاره نادرست است. چگونه؟ کافیست یک عدد که گنگ بودنش را ثابت کرده‌ایم مثال بزنیم به همراه یک دنباله از عددهای گویا که حدش آن عدد گنگ شود.
نخستین عدد گنگی که اثبات گنگ بودنش را دیده‌اید معمولا $\sqrt{2}$ است. این عدد ریشهٔ مثبتِ برابریِ $x^2-2=0$ است. روش عددیِ نیوتن برای حل برابری‌های تک‌متغیره را به یاد آورید. با استفاده از این روش می‌توانید یک دنباله از عددهای گویا بسازید که حد آن پاسخِ برابری، یعنی $\sqrt{2}$ شود. حدس اولیه برای حل عددی این برابری را $x_1=1$ در نظر بگیرید. با روشِ عددیِ نیوتن این حدس با فرمول زیر به روز می‌شود.
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
که در اینجا $f(x)=x^2-2$ و در نتیجه $f'(x)=2x$ است. پس داریم
$$\begin{array}{rcl}
x_2 & = & 1-\frac{-1}{2}=\frac{3}{2}\\
x_3 & = & \frac{3}{2}-\frac{\frac{9}{4}-2}{3}=\frac{17}{12}\\
\vdots & & \vdots
\end{array}$$
اینکه همهٔ عضوهای این دنباله عددهایی گویا هستند از اینجا نتیجه می‌شود که هر عضو نسبت به عضو پیشین با فرمولِ $x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n}$ محسابه می‌شود. پس با یک استقرای ریاضیِ ساده و اینکه تفاضل و توان و ضرب و تقسیم عددهای گویا، عددی گویا می‌دهند (و تعداد این عمل‌ها متناهی است!).
پس دنبالهٔ بالا یک دنباله با همهٔ عضوهایش عددهایی گویا است که حد آن یعنی $\sqrt{2}$ عددی گنگ است. این یک مثال نقض برای گزارهٔ «حدِ یک دنباله از عددهای گویا، عددی گویا است» می‌باشد.
پس متنی که نوشتید یک اثبات برای گویا بودنِ عددِ $\pi$ نمی‌شود.
