قضیه از کتاب رودین:
به ازای هر عدد حقیقی $x>0$ و هر عدد صحیح $n>0$ یک و فقط یک $y$ حقیقی هست که $y^n=x$ .
اثبات: اینکه حداکثر یک عدد حقیقی $y$ در این شرایط صدق می کند واضح است چرا که اگر $y_1, y_2$ چنین باشند، یعنی $y_1^n=y_2^n=x$ و $y_1\neq y_2$ با فرض
$0<y_1< y_2$ داریم $x=y_1^n< y_2^n=x$ که تناقض است.
حال نشان می دهیم چنین $y$ی موجود است.
قرار دهید: $$E=\{t\in\mathbb R^{>0}: t^n< x\}$$
- مجموعه ی $E$ مخالف تهی است:
زیرا $\frac x{1+x}\in E$ . برای اینکه نشان دهیم $\frac x{1+x}\in E$ باید نشان دهیم $(\frac x{1+x})^n< x$. اما چون $x> 0$ لذا
$0< \frac x{1+x}< 1$ پس وقتی به توان برسد کوچکتر می شود یعنی
$(\frac x{1+x})^n< \frac x{1+x}< x$.
- مجموعه ی $E$ از بالا کراندار است:
نشان می دهیم هر $ t $ که $t>1+x$ یک کران بالای $E$ است. چنانچه $t> 1+x> 1$ لذا وقتی به توان برسد بزرگتر می شود یعنی $t^n> t> x$ پس $t\notin E$ . به عبارت دیگر اگر $t\in E$ آنگاه $t\leq 1+x$ لذا $1+x$ یک کران بالا است.
- کوچکترین کران بالای $E$ موجود است:
چرا که هر مجموعه ناتهی از بالا کراندار از اعداد حقیقی دارای $\sup$ است. قرار می دهیم $$y=\sup E$$
در واقع هر کدام از نامساوی های $y^n< x$ و $y^n> x$ به تناقض منجر خواهد شد.
اولا بنابر اتحاد
$$b^n-a^n=(b-a)(b^{n-1}+b^{n-2}a+...+a^{n-1})$$
پس وقتی که $0< a< b$ داریم:
$$b^n-a^n< (b-a)nb^{n-1}\tag{*}$$
فرض کنید $y^n< x$ . عدد حقیقی $h$ را طوری اختیار کنید که
$$0< h< 1\\ h< \frac{x-y^n}{n(y+1)^{n-1})}\tag{**}$$
اگر قرار دهید $a=y$ و $b=y+h$ در اینصورت بنابر نامساوی * و **:
$(y+h)^n-y^n< (y+h-y)n(y+h)^{n-1}< hn(y+1)^{n-1}< x-y^n$
و لذا $(y+h)^n< x$ پس $y+h\in E$ که این با کران بالا بودن $y$ در تناقض است. چرا که $y$ کران بالا است و باید از تمام اعضای $E$ بزرگتر باشد اما $y+h$ عضوی از $E$ شده است که از $y$ بزگتر است!
فرض کنید $y^n> x$ . قرار دهید
$$k=\frac{y^n-x}{ny^{n-1}}$$
در اینصورت $0< k< \frac{y^n}{ny^{n-1}}=\frac yn< y$ .
برای $t\geq y-k$ از نامساوی * داریم
$$y^n-t^n\leq y^n-(y-k)^n< (y-(y-k))ny^{n-1}=y^n-x$$
یعنی $t^n> x$ پس $t\notin E$ . و یا به عبارتی اگر $t\in E$ آنگاه $t< y-k$ پس $y-k$ کران بالای $E$ است که با کوچکترین کران بالا بودن $y$ در تناقض می شود چرا که $y-k< y$ یعنی کران بالایی پیدا کرده ایم که از کوچکترین کران بالا کوچکتر است!
بنابراین باید $y^n=x$ .
