چگونه می توان ثابت کرد که برای هر عدد حقیقی $x$ای عدد صحیح $k$ و عدد $\alpha$ای هستند که $x=2k\pi+\alpha$ و $0\leq\alpha<2\pi$؟

Question

می‌دانیم که برای هر عدد حقیقی مانند $x$ عدد صحیح $k$ و عدد حقیقی$ \alpha $ای وجود دارند که:

$$x=2kπ+ \alpha $$

و بعلاوه داشته‌باشیم $0\leq\alpha < 2\pi$. اماچگونه می‌توان این مطلب را اثبات کرد؟

Answer 1

فرض کنید $x$ یک عدد حقیقی دلخواه ولی ثابت است. ادعا می‌کنیم که اگر قرار دهیم $k=[\frac{x}{2\pi}]$ و $\alpha=x-2\pi k$ آنگاه داریم که

1. $x=2k\pi+\alpha$.
2. $k\in\mathbb{Z}$.
3. $\alpha\in [0,2\pi)$.

تعریف جزء صحیح را به یاد آورید. برای یک عدد حقیقیِ $a$ داریم $[a]$ عدد صحیح یکتایی است که در $[a]\leq a<[a]+1$ صدق کند. پس در همین لحظهٔ نخست گزینهٔ دوم ادعایمان بدیهی می‌شود. توجه کنید که روشن است که $\frac{x}{2\pi}$ یک عدد حقیقی است.

با توجه به تعریف جزء صحیح و نحوهٔ تعریف $k$ داریم $k\leq \frac{x}{2\pi}< k+1$ پس با کاستن $k$ از هر سه طرف داریم $0\leq \frac{x}{2\pi}-k< 1$. اکنون هر سه طرف را در $2\pi$ ضرب کنید. داریم $0\leq x-2k\pi<2\pi$ که یعنی $0\leq\alpha<2\pi$ که مورد سوم ادعایمان است. اما چرا مورد یکُم برقرار است؟ خیلی بدیهی است کافیست جایگذاری کنیم، اصلا $\alpha$ را خودمان طوری تعریف کردیم که برابری برقرار شود.

$$2k\pi+\alpha=2k\pi+(x-2k\pi)=x$$

Comments

خیلی ممنونم.