آیا نمودار یک تابع افزایشی اکید و یک تابع کاهشی اکید تنها در یک نقطه یکدیگر را قطع می کنند؟

Question

به فرض $f(x)$ و $g(x)$ دو تابع باشند که $f(x)$ افزایشی اکید (اکیدا صعودی) و $g(x)$ کاهشی اکید (اکیدا نزولی) هستند. اکنون برابری (معادله) $f(x)=g(x)$ را در نظر بگیرید. ثابت کنید که این برابری دقیقا یک پاسخ دارد، به سخنی دیگر نمودار این دو تابع یکدیگر را تنها در یک نقطه قطع می‌کند.

Answer 1

چون $g$ کاهشی اکید است پس $-g$ افزایشی اکید است. اکنون چون $f$ و $-g$ هر دو افزایشی اکید هستند، جمع آن دو نیز افزایشی اکید می‌شود. تابعی که یکنوای اکید باشد یک به یک نیز است. بنابراین برابریِ $(f+(-g))(x)=0$ که یعنی عدد صفر در بُردِ تابعِ $f+(-g)=f-g$ باشد دستِ بالا (حداکثر) می‌تواند یک ریشه داشته باشد. پس برابریِ $f(x)=g(x)$ یا پاسخی ندارد یا اگر داشته باشد دقیقا یک پاسخ دارد. که هم‌ارز با این است که نمودار دو تابع $f$ و $g$ یکدیگر را قطع نمی‌کنند یا دست بالا در یک نقطه یکدیگر را قطع می‌کنند.