پرسش یکم‌تان پاسخش بدیهی‌است. نمودار واقعی این تابع‌ها نمودار رسم شده توسط نرم‌افزار نیستند، باید برای تابع یکم و سوم در $x=2$ روی خم، دایرهٔ توخالی گذاشته‌شود. توجه کنید که نرم‌افزار کاری را میکند که برایش برنامه‌ریزی کرده‌اند بنابراین صرف اینکه نمودار رسم شده برای دو تابع در یک نرم‌افزار یکسان بود شما نمی‌توانید نتیجه بگیرید که واقعا نمودار این دو تابع برابر هستند بلکه اگر می‌خواهید برای اثبات از آن استفاده کنید باید الگوریتم پیاده شده در برنامه‌ریزی نرم‌افزار را بدانید و اگر این تابع‌های شما در مجموعهٔ تابع‌هایی باشند که این الگوریتم خروجی درست برایشان می‌دهد آنگاه می‌توانید خروجی نرم‌افزار را به عنوان حقیقت و چیز قابل استناد استفاده کنید. این بحث برای زمانی که در مقاله‌ای به محاسبات نرم‌افزاری ارجاع می‌دهید نیز مهم است. پس پرسش درست این است که «چرا نرم‌افزار جئوالجبرا نمودار اشتباه به عنوان خروجی می‌دهد؟» که یک پرسشی است که باید از طراح‌های نرم‌افزار بپرسید. معمولا الگوریتم‌ها از تقریب برای رسم استفاده می‌کنند برای همین هیچ تضمینی بر اینکه نمودار را درست رسم کنند نیست. برای نمونه خروجی نرم‌افزار Maple برای تابع الف‌تان را ببینید، نه تنها در $x=2$ نمودار را پر کرده‌است بلکه در $x=-2$ یک خط قائم رسم کرده‌است!!
یا برای اینکه برایتان کاملا جا بیفتد مثال خیلی بدیهی زیر را ببینید که پریسال در کلاس برای دانشجویانم زدم. $sin^2(x)+cox^2(x)$ برابر با $1$ است اما خروجی Maple (چه با نسخهٔ ۲۰۱۶ قبل چه با نسخهٔ ۲۰۱۸ امروز) شکل زیر است!
و اما پاسخ پرسش دومتان. نخست اشاره کنم که یک «نـ» در آخرین جملهٔ پرسشی‌تان اضافه گذاشته‌اید که معنای اشتباه می‌دهد. احتمالا «تعریف‌نشده بود» یا «تعریف‌شده نبود» منظورتان بوده‌است.
به هر حال پاسخ پرسش دومتان منفی است. همیشه با ساده‌کردن حد را بدست نمی‌آورند. برای نمونه $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sin x}$ را در نظر بگیرید که پاسخش $1$ می‌شود. در اینجا از هم‌ارزی یا قاعدهٔ هوپیتال و غیره استفاده می‌کنند. و در عین حال نیز صورت و مخرج در اینجا کاملا ساده‌شده‌اند و با جایگذاری تعریف‌نشده می‌شود ولی به معنای حد نداشتن نیست.
