حد و نمودار سه تابع با معادله های مساوی در همه جا غیر از یک نقطه

Question

سلام من در پایین سه تابع رو آوردم که شکلش رو با نرم افزاری به نام جیو جبرا کشیدم. معادله های هر سه تابع رو اگه ساده کنیم باهم برابر اند و فکر می کنم که به خاطر همین هم هست که نرم افزار نمودار هر سه تابع رو مثل هم کشیده. اگه دلیل دیگری داره لطفا به من بگید. اما دو تا سوال اصلی دارم. 1-اگر ما x=2 رو به هر سه معادل بدیم (f(x تعریف نشده میشه و (g(x مساوی است با 3 و (h(x هم تعریف نشده است .ولی وقتی روی نمودار نگاه می کنی هر سه مساوی هستند با 3. لطفا توضیح بدید که چرا با وجود اینکه معادله های هر سه تابع مساوی هستند اما جواب ها متفاوته؟ سوال2- (lim f(x زمانی که xمیل میکند به 2 و (lim g(x وقتی که x میل میکند به 2 هر دو مساوی هستند با 3 با فرق اینکه x=2 در (f(x تعریف نشده است و در (g(x تعریف شده.سوالم اینه که آیا برای به دست آوردن حد یک تابع زمانی که xمیل میکند به c حتما باید ابتدا معادله ی تابع رو ساده کنیم و بعد حد رو حساب کنیم ؟ و دوم اینکه اگر معادله را ساده کردیم و باز هم c در معاله تعریف نشده نبود به این معنی است که آن تابع در c دارا ی حد نیست ؟ لطفا توضیه دهید. ممنون می شم.

Answer 1

پرسش یکم‌تان پاسخش بدیهی‌است. نمودار واقعی این تابع‌ها نمودار رسم شده توسط نرم‌افزار نیستند، باید برای تابع یکم و سوم در $x=2$ روی خم، دایرهٔ توخالی گذاشته‌شود. توجه کنید که نرم‌افزار کاری را می‌کند که برایش برنامه‌ریزی کرده‌اند بنابراین صرف اینکه نمودار رسم شده برای دو تابع در یک نرم‌افزار یکسان بود شما نمی‌توانید نتیجه بگیرید که واقعا نمودار این دو تابع برابر هستند بلکه اگر می‌خواهید برای اثبات از آن استفاده کنید باید الگوریتم پیاده شده در برنامه‌ریزی نرم‌افزار را بدانید و اگر این تابع‌های شما در مجموعهٔ تابع‌هایی باشند که این الگوریتم خروجی درست برایشان می‌دهد آنگاه می‌توانید خروجی نرم‌افزار را به عنوان حقیقت و چیز قابل استناد استفاده کنید. این بحث برای زمانی که در مقاله‌ای به محاسبات نرم‌افزاری ارجاع می‌دهید نیز مهم است. پس پرسش درست این است که «چرا نرم‌افزار جئوالجبرا نمودار اشتباه به عنوان خروجی می‌دهد؟» که یک پرسشی است که باید از طراح‌های نرم‌افزار بپرسید. معمولا الگوریتم‌ها از تقریب برای رسم استفاده می‌کنند برای همین هیچ تضمینی بر اینکه نمودار را درست رسم کنند نیست. برای نمونه خروجی نرم‌افزار Maple برای تابع الف‌تان را ببینید، نه تنها در $x=2$ نمودار را پر کرده‌است بلکه در $x=-2$ یک خط قائم رسم کرده‌است!!

یا برای اینکه برایتان کاملا جا بیفتد مثال خیلی بدیهی زیر را ببینید که پریسال در کلاس برای دانشجویانم زدم. $sin^2(x)+cox^2(x)$ برابر با $1$ است اما خروجی Maple (چه با نسخهٔ ۲۰۱۶ قبل چه با نسخهٔ ۲۰۱۸ امروز) شکل زیر است!

و اما پاسخ پرسش دومتان. نخست اشاره کنم که یک «نـ» در آخرین جملهٔ پرسشی‌تان اضافه گذاشته‌اید که معنای اشتباه می‌دهد. احتمالا «تعریف‌نشده بود» یا «تعریف‌شده نبود» منظورتان بوده‌است.

به هر حال پاسخ پرسش دومتان منفی است. همیشه با ساده‌کردن حد را بدست نمی‌آورند. برای نمونه $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sin x}$ را در نظر بگیرید که پاسخش $1$ می‌شود. در اینجا از هم‌ارزی یا قاعدهٔ هوپیتال و غیره استفاده می‌کنند. و در عین حال نیز صورت و مخرج در اینجا کاملا ساده‌شده‌اند و با جایگذاری تعریف‌نشده می‌شود ولی به معنای حد نداشتن نیست.