به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
139 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط

سلام در عکس پایین من اثبات قضیه حد ضرب دو تابع رو آوردم . enter image description here

اصلا با اثبات قضیه کاری ندارم بحث من سر اپسیلون و دلتا است. در قسمتی از این اثبات آمده است: enter image description here

اگر بخواهیم این حد را روی نمودار نشان دهیم به شکل زیر است: enter image description here

منظور من از آوردن این شکل این است که مقادیر f تمامی tهایی که در بازه c+ \delta وc- \delta قرار دارند تمامی فضای بین L+ \epsilon وL- \ epsilonرا پر می کنند. در آخر این اثبات اپسیلون سوم رو +اپسیلون سوم+اپسیلون سوم کرده و به این رسیده. enter image description here

ذهنیت من این است که اگر بخواهیم این حد را روی نمودار نشان دهیم به شکل زیر در می آید. enter image description here

منظورم این است که مقادیر f تمامی tهایی که در بازه c+ \delta وc- \delta قرار دارند تمامی فضای بین L+ \epsilon وL- \epsilon را پر نمی کنند و قسمتی از بازهL+ \epsilon وL- \epsilon فاقد مقادیر f است. دلیل من برای این ذهنیتم این است که اپسیلون سوم +اپسیلون سوم+اپسیلون سوم بزرگ تر است از اپسیلون سوم و علاوه بر آن \delta یی که در نا معادله دوم آمده کوچکتر است از \delta یی که در معادله اول آمده زیرا این دراثبات بیان شده است. من اصلا با این کاری ندارم که می توانیم هر چقدر که می خواهیم \epsilon را کوچک بگیریم. ذهنیت من این است که اگر در معادله اولی خود \delta را یک عدد فرضی در نظر بگیرم که می توانیم این کار را بکنیم و آن را به f بدهیم f هم به ما \epsilon را میدهد. اما اگر همین کار را در معادله دوم انجام دهیم مقدار خروجی f درون بازه L+ \epsilonوL- \ epsilon قرار دارد. می خواستم ببینم که آیا ذهنیت من درست است یا نه. ممنون میشم راهنمایی کنید.

دارای دیدگاه توسط
+2
چرا برچسب نرم‌افزار برای این پرسش انتخاب کرده‌اید؟ من چیزی که اشاره‌ای به نرم‌افزاری داشته‌باشد نمی‌بینم. بعلاوه برای عبارت‌های ریاضی‌تان ظاهرا علامت‌های دلار را فراموش کرده‌اید. و اگر چیزی را از جایی برمی‌دارید بد نیست که به مرجع اشاره کنید، مثلا تصویر فلان یا متن فلان از صفحهٔ فلان کتاب فلان را در زیر آورده‌ام. چون متنی که آوردید از اثر دیگری است و اثبات یا نوشته یا تصویر رسم‌شده بوسیلهٔ خودتان نیست و جزو حقوق صاحبِ اثر و اخلاق آکادمی است که نام اثرش را بیاورید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

به نظر می رسد مشکل شما در تعریف اپسیلوت-دلتای حد هست. بنابر تعریف حد $\lim_{x\to c}f(x)=L$ یعنی $$\forall \epsilon>0\quad \exists \delta>0 :\quad (0< |x-c|<\delta\implies |f(x)-L|< \epsilon)$$

برای هر اپسیلون دلخواه شما بتوانید دلتایی(وابسته به $c$ و $\epsilon$) بیابید که اگر $x$ در همسایگی محذوف دلتای $c$ (یعنی $0< |x-c|< \delta$ ) واقع شود آنگاه مقادیر $f(x)$ در همسایگی اپسیلون $L$ (یعنی $|f(x)-L|< \epsilon$ ) قرار گیرند. لازم نیست حتما مقادیر $f(x)$ تمامی فضای همسایگی اپسیلون $L$ را دربرگیرد بلکه کافی است زیرمجموعه ای از آن باشد. به عبارت دیگر اگر همسایگی محذوف دلتای $c$ را با $U$ و همسایگی اپسیلون $L$ را با $V$ نمایش دهیم آنگاه باید $f(U)\subseteq V$ و ذهنیت شما که فکر می کنید باید حتما $f(U)=V$ اشتباه است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...