نشان دهید $ \parallel A \parallel_2^2 \leq \parallel A \parallel _1 \parallel A \parallel _ \infty $

Question

اگر $A$ یک ماتریس $m×n$ باشد و با توجه به اینکه میدانیم: $ \parallel Ax\parallel \leq \parallel A \parallel \parallel x \parallel $ و اینکه

$ \parallel A \parallel _1=\max_j \sum_{i=1}^ m |a_ {i j}|$ $ \parallel A \parallel _ \infty =\max_i \sum_{j=1}^ n |a_{ i j}|$ $ \parallel A \parallel _2= \sqrt{ \rho (A^HA)} $

نشان دهید رابطه زیر برقرار است:

$ \parallel A \parallel_2^2 \leq \parallel A \parallel _1 \parallel A \parallel _ \infty $

Comments

لطفا در نوشتن سوال دقت کنید:
اگر $A$ ماتریس $m\times n$ است در اینصورت منظور از $\|A\|_p$ چیست؟
منظور از نرمهای  $\|A\|_1$ و $\|A\|_\infty$ و $\|A\|_2$چیست؟
تلاش شما برای حل مساله؟

Answer 1

الف) ابتدا نشان میدهیم که $ \rho (A)$ به عنوان شعاع طیفی کوچکتر از نرم ماتریس است یعنی $ \rho (A) \leq \parallel A \parallel $ برای این منظور فرض کنید $ \rho (A)=| \lambda |$ در اینصورت با توجه به اینکه $ AX= \lambda X $ و همچنین $ \parallel AX \parallel \leq \parallel A \parallel \parallel X \parallel $ پس خواهیم داشت: $ \parallel AX \parallel = \parallel \lambda X \parallel = | \lambda | \parallel X \parallel \leq \parallel A \parallel \parallel X \parallel $ در نتیجه داریم $$ \rho(A)=| \lambda | \leq \parallel A \parallel $$

ب) حال نشان میدهیم که $ \parallel A \parallel _1= \parallel A^H \parallel _ \infty $ برای این منظور فرض کنید $A=(a_{ij})$ و $A^H=(b_{ij})$ در حالی که $b_{ij}=\overline{a_{ji}}$ در نتیجه : $$||A^H||_{\infty}=\max_i\sum_{j=1}^n|b_{ij}|=\max_i\sum_{j=1}^n|\overline{a_{ji}}|=\max_\ell\sum_{k=1}^n|{a_{k\ell}}|=||A||_1$$

ج)حال به سراغ اثبات مساله اصلی میرویم:

$$\|A\|_2^2= \rho(AA^H) \leq \|AA^H\| \leq \|A\|\|A^H\| \leq \parallel A\parallel _1 \parallel A \parallel _ \infty $$ که در اثبات سوال از دو قسمت (الف) و (ب) بالا کمک گرفتم.