نشان دهید: $ \parallel A \parallel _1= \parallel A^H \parallel _ \infty$

Question

با توجه به تعریف نرم-1 و نرم-بی نهایت برای ماتریس $A_{m*n}$ که عبارتست از: $$ \parallel A \parallel _1=max \sum_i^ m |a_ i j|$$

و

$$ \parallel A \parallel _ \infty =max \sum_j^ n |a_ i j|$$

نشان دهید:

$$ \parallel A \parallel _1= \parallel A^H \parallel _ \infty$$ که در آن $A^H$ ماتریس هرمیتی است(ماتریس $A$ هرمیتی گوییم اگر $ \overline{A} ^ { T }=A$)

Answer 1

اینجا را نگاه کنید.(سوال مشابه)

الف) ابتدا نشان میدهیم که $ \rho (A)$ به عنوان شعاع طیفی کوچکتر از نرم ماتریس است یعنی $ \rho (A) \leq \parallel A \parallel $ برای این منظور فرض کنید $ \rho (A)=| \lambda |$ در اینصورت با توجه به اینکه $ AX= \lambda X $ و همچنین $ \parallel AX \parallel \leq \parallel A \parallel \parallel X \parallel $ پس خواهیم داشت: $ \parallel AX \parallel = \parallel \lambda X \parallel = | \lambda | \parallel X \parallel \leq \parallel A \parallel \parallel X \parallel $ در نتیجه داریم $$ \rho(A)=| \lambda | \leq \parallel A \parallel $$

ب) حال نشان میدهیم که $ \parallel A \parallel _1= \parallel A^H \parallel _ \infty $ برای این منظور فرض کنید $A=(a_{ij})$ و $A^H=(b_{ij})$ در حالی که $b_{ij}=\overline{a_{ji}}$ در نتیجه : $$||A^H||_{\infty}=\max_i\sum_{j=1}^n|b_{ij}|=\max_i\sum_{j=1}^n|\overline{a_{ji}}|=\max_\ell\sum_{k=1}^n|{a_{k\ell}}|=||A||_1$$