نشان دهید: $\parallel A \parallel _1= \parallel A^H \parallel _ \infty$

Question

با توجه به تعریف نرم-1 و نرم-بی نهایت برای ماتریس $A_{m*n}$ که عبارتست از:

$$\parallel A \parallel _1=max \sum_i^ m |a_ i j|$$

و

$$\parallel A \parallel _ \infty =max \sum_j^ n |a_ i j|$$

نشان دهید:

$$\parallel A \parallel _1= \parallel A^H \parallel _ \infty$$ که در آن $A^H$ ماتریس هرمیتی است(ماتریس $A$ هرمیتی گوییم اگر $\overline{A} ^ { T }=A$)

Answer 1

اینجا را نگاه کنید.(سوال مشابه)

الف) ابتدا نشان میدهیم که $\rho (A)$ به عنوان شعاع طیفی کوچکتر از نرم ماتریس است یعنی $\rho (A) \leq \parallel A \parallel$ برای این منظور فرض کنید $\rho (A)=| \lambda |$ در اینصورت با توجه به اینکه $AX= \lambda X$ و همچنین $\parallel AX \parallel \leq \parallel A \parallel \parallel X \parallel$ پس خواهیم داشت: $\parallel AX \parallel = \parallel \lambda X \parallel = | \lambda | \parallel X \parallel \leq \parallel A \parallel \parallel X \parallel$ در نتیجه داریم

$$\rho(A)=| \lambda | \leq \parallel A \parallel$$

ب) حال نشان میدهیم که $\parallel A \parallel _1= \parallel A^H \parallel _ \infty$ برای این منظور فرض کنید $A=(a_{ij})$ و $A^H=(b_{ij})$ در حالی که $b_{ij}=\overline{a_{ji}}$ در نتیجه : $$||A^H||{\infty}=\max_i\sum{j=1}^n|b_{ij}|=\max_i\sum_{j=1}^n|\overline{a_{ji}}|=\max_\ell\sum_{k=1}^n|{a_{k\ell}}|=||A||_1$$