عبارت زیر را به روش حل معادله معکوسه تجزیه کنید: $4(x^4+x^3+x^2+x+1)$

Question

عبارت زیر را تجزیه کنید:

$A=4(x^4+x^3+x^2+x+1)$

قسمتی از متن کتاب«این عبارت، یک عبارت معکوسه ی درجۀ چهارم است. برای تجزیه آن از همان روش حل معادله معکوسه استفاده می کنیم. ابتدا از $x^2$ فا کتور می گیریم»

$A=4x^2(x^2+x+1+ \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^2})$

سوال: دو عبارت بالا با هم برابراند؟ اگر هستند پس چرا دامنه برابری ندارند؟ مگر اینکه x برابر با صفر عضو دامنه هیچ کدام نباشد که آیا این درست است؟ اگر هم نیستند پس چرا هر دو عبارت برابر با A است؟ و یعنی با عمل فاکتور دامنه تابع تغییر کرده؟ (منظور از دو عبارت، دو عبارت فوق است) تجزیه نهایی عبارت:

$[2x^2+( \sqrt{5}+1)x+2][2x^2-( \sqrt{5}-1)x+2]$

Comments

@Elyas1 وازهٔ «معکوسه» را کجا دیده‌اید؟ و اما پرسش‌تان، ابتدا اینکه تجزیه روی چه حلقه یا میدانی؟ یک چندجمله‌ای روی یک حلقه یا میدان ضرایب می‌تواند تجزیه‌پذیر باشد در حالیکه روی ساختار ضرایب دیگر تجزیه‌ناپذیر باشد. در کل باید ساختارتان را مشخص کنید. برای نمونه عدد ۲ در حلقهٔ اعداد صحیح با جمع و ضرب معمولی عضوی وارون‌ناپذیر است ولی در میدان اعداد گویا با عمل جمع و ضرب معمولی عضوی وارون‌پذیر است. پس ابتدا مشخص کنید که تجزیه به حاصلضرب چندجمله‌ای ها می‌خواهید یا تجزیه به حاصلضرب چه چیزهایی؟ پس تا اینجا دو نکته که باید اشاره کنید. نکتهٔ سوم، الآن پرسش شما پیدا کردن وارون (معکوس) است، یا پیدا کردن تجزیه است، یا پرسش اصلی شما این است که کاری به معکوس و تجریه نداریم، دو عبارت نوشتید که به نظرتان برابر هستند ولی در یکی صفر را می‌توان قرار داد ولی در دیگری خیر، و الآن برایتان ابهام ایجاد شده‌است. آیا موضوع سوم پرسش‌تان است؟ در این‌صورت توجه کنید که وقتی از گذاشتن صفر به جای $x$ صحبت می‌کنید در حال نگاه کردن به این عبارت‌ها به عنوان تابع هستید. چه زمانی دو تابع با هم برابر بودند؟ در ریاضی دوم دبیرستان این گونه می‌گفتید که دو شرط روی بدهد، شرط دوم این بود که به ازای هر عضو از دامنه حاصل دو تابع برابر شود (یعنی برابری ضابطه‌ها) ولی توجه کنید «به ازای هر عضو از دامنه»! آیا این دو تابع دامنهٔ برابر دارند؟ پس به شرط اول که فراموش می‌کنید برمی‌گردیم: «هر دو تابع دارای دامنهٔ یکسان باشند».

---

@AmirHosein خیلی ممنونم از شما استاد گرامی.
من زیاد متوجه تذکراتتان نشدم. علتش این است که با حلقه و میدان آشنا نیستم. ولی تا جایی که می توانم سوال را اصلاح می کنم. در واقع منظورم این است که  اگرعبارت بالا برابر با عبارت پایین باشد، طبق تعریف برابری دو تابع باید دامنه برابری داشته باشند، که ندارند.(در واقع منظورم این است که در عبارت دوم، با قرار دادن x=0 مخرج صفر می شود ولی در اولی اینطور نیست.) پس نتیجه میگیریم که این دو برابر نیستند. پس چرا عبارت اول برابر با A است و عبارت دوم هم برابر با A؟ که این نتیجه می دهد که هر دو عبارت فوق  برابرند که این یک تناقض است، البته به نظر من.
«یا اصلا این دو عبارت برابر هستند ولی در هر دو x=0 عضوی از دامنه نیست؟»

Answer 1

با درود به دوست گرامی @Elyas1 : بنظرم علت این تناقض بخاطر اینه که شما میخواهید هم $x=0$ را بعنوان دامنه داشته باشید و هم اختیار تقسیم بر صفر را داشته باشید. چون اگر $x^{2}=0$ باشد، بنا بر قانون جبر، دیگر مجازبه تقسیم پرانتز برصفر نیستید. تحت عنوان شوخی با جبر در کتابی به مثالی برخوردم که ذکر آن در اینجا خالی از لطف نیست. این مثال نشاندهنده غیرمجاز بودن تقسیم بر صفر است که به نتیجه نادرستی ختم میشود.

$1)a^{2} - b^{2} =(a-b)(a+b)$

اگر $a=b$ باشد داریم:

$2)a^{2} - a^{2} =(a-a)(a+a)$

با فاکتورگیری از $a$ در سمت چپ معادله داریم:

$3)a(a-a)=(a-a)(a+a)$

تا اینجا مشکلی نیست زیرا حاصل میشود $0=0$ که صحیح است. ولی با تقسیم دو طرف بر $a-a$ یعنی تقسیم غیرمجاز بر صفر نتیجه متناقض زیر بدست می آید.

$4)a=2a$ !!!

و معنایش این است که هر عددی با دوبرابر خودش مساویست!!! که نتیجه تقسیم غیرمجاز برصفر است. موفق باشید.

Comments

@ناصر آهنگرپور با سلام و درود خدمت استاد گرامی.
منظورتان از قانون جبر چیست؟

---

@Elyas1: با سلام مجدد: در جبر قانونی داریم مبنی بر اینکه در کسر  $\frac{a}{b}$ باید $b\neq0$ باشد. استاد پرویز شهریاری کتابی بنام ریاضیات محاسبه ای در پنج جلد دارد که در جلد اول آن، صفحه 106 این مطلب را توضیح داده است. این کتاب مخصوص آموزش دوره دبیرستان است. تقسیم بر صفر منشأ تناقضات بسیاری در ریاضیات بوده. با آرزوی بهترینها برایتان.

مرجع: ریاضیات محاسبه ای، پرویز شهریاری، 1377، انتشارات فردوس، جلد 1، صفحه 106

---

ببخشید فقط من یه چیز رو متوجه نشدم.
x=0 عضو دامنه است؟

---

@Elyas1:

در مسئله فوق دو حالت زیر را داریم که عمل غیرمجاز تقسیم بر صفر در آن صورت نگرفته و  $x=0 \Longrightarrow A=4$ . پس $x=0$ عضوی از دامنه است.

$1) A=4(x^4+x^3+x^2+x+1)$

$2)A=[2x^2+( \sqrt{5}+1)x+2][2x^2-( \sqrt{5}-1)x+2]$

ولی در حالت سوم یعنی


$3)A=4x^2(x^2+x+1+\frac{1}{x}+ \frac{1}{x^2})$

چون عمل غیر مجاز تقسیم بر صفر صورت گرفته به تناقض $A=0$ میرسیم. در اینجا بخاطر عمل غیر مجاز تقسیم برصفر، بحث دامنه دیگر از موضوعیت ساقط است.

---

خب پس طبق تعریف برابری دو تابع نباید دو عبارت فوق برابر باشند.

---

@Elyas1:  در دیدگاه قبلی بنده، حالت اول و دوم با هر مقدار حقیقی $x$ باهم برابرند. ولی با $x=0$ هیچکدام از حالتهای اول و دوم با حالت سوم برابر نیستند زیرا حالت سوم بصورت غیرمجاز برصفر تقسیم شده است. مگر اینکه $x$ در هرسه حالت مخالف صفر باشد. فقط در این صورت هر سه حالت باهم برابرند.

---

@Elyas1: با درود مجدد: حاصل فاکتورگیری از $ x^{2} $ عبارت زیر میشود که در دیدگاهم تصحیح کردم. تصحیح این مورد در طرح سؤال شما بعهده خودتان است. موفق و سربلند باشید.

$4(x^4+x^3+x^2+x+1)=4x^2(x^2+x+1+ \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^2})$

---

تشکر از اینکه وقت گران مای تان را صرف رفع مشکل من کردید.
سوال اصلاح شد.

---

@Elyas1 به مثالی ساده که در قسمت پاسخ ضمیمه کردم توجه کنید. امیدوارم با این مثال کاملاً رفع ابهام شود. زنده و پاینده باشید.