اثبات $f[y_0,y_1,...,y_n]= \frac{f^{(n)}( \theta )}{n!} $

Question

فرض کنید $y_0,y_1,...,y_n$ نقاطی در بازه ی $[a,b] $ باشند و $f\ \epsilon\ c^{n+1}[a,b]$.در اینصورت:

الف)اگر به ازای هر $\ x_i^r,\ r$ها در بازه ی $[a,b]$ باشند بطوریکه $\lim_{r \rightarrow + \propto } x_i^r=y_i$و $\ i \epsilon < 0,n > $ آنگاه داریم:

$$ \lim_{r \rightarrow + \propto }\ f[x_0^r,x_1^r,...,x_n^r]=f[y_0,y_1,...,y_n] $$

ب)اگر $ \alpha =min \big\{y_0,y_1,...,y_n\big\} $ و$ \beta =max \big\{y_0,y_1,...,y_n\big\} $ آنگاه :

$$ \exists \Theta ( \alpha , \beta ) \ .s.t \ f[y_0,y_1,...,y_n]= \frac{f^{(n)}( \theta )}{n!} $$

Comments

چون قسمت های الف و ب به هم مرتبط بودن نتونستم جداگانه بنویسم,عذر میخوام

Answer 1

اثبات الف)

طبق فرض می دانیم:$$ \lim_{r \rightarrow + \propto }x_i^r=y_i $$

لذا بااستفاده از استقرای ریاضی داریم:

$$ \lim_{r \rightarrow+ \propto } \frac{f(x_{i+1}^r)-f(x_i^r)}{x_{i+1}^r-x_i^r}= \frac{f(y_{i+1})-f(y_i)}{y_{i+1}-y_i} $$

فرض کنیم عبارت زیر برقرار باشد:

$$ \lim_{r \rightarrow + \propto }f[x_0^r,...,x_{n-1}^r]=f[y_0,...,y_{n-1}] $$

می خواهیم ثابت کنیم:

$$\lim_{r \rightarrow + \propto }f[x_0^r,...,x_{n}^r]=f[y_0,...,y_{n}]$$ $$\lim_{r \rightarrow + \propto }f[x_0^r,...,x_{n}^r]=\lim_{r \rightarrow + \propto } \frac{f[x_1^r,...,x_{n}^r]-f[x_0^r,...,x_{n-1}^r]}{x_n^r-x_0^r}= $$ $$ \frac{f[y_1,...,y_n]-f[y_0,...,y_{n-1}]}{y_n-y_0}=f[y_0,...,y_{n}] $$

لذا حکم برقرار است.

اثبات ب)

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$$g(x)=f(x)-P_n(x)$$

چون به ازای هر $i \epsilon < 0,1,...,n > $ داریم:$$f(x_i)=P_n(x_i)$$

نتیجه می گیریم تابع $g$ دارای $n+1$ ریشه ی متمایز در $[a,b]$ است.

تعمیم قضیه رول ایجاب می کند که یک $ \eta $ در $(a,b)$ موجود باشد بطوریکه $g^{(n)}( \eta )=0$, بنابراین مشتق مرتبه ی $n$ام $g$ را در $\eta$ می یابیم:

$$g^{(n)}(\eta)=f^{(n)}(\eta)-P^{(n)}(\eta)=0$$

حال چون $P_n(x)$ یک چند جمله ای حداکثر درجه ی $n$ و ضریب $x^n$ آن $f[x_0,...,x_n]$ می باشد,لذا داریم:

$$f^{(n)}(\eta)=P^{(n)}(\eta)=n!.f[x_0,...,x_n] \Longrightarrow f[x_0,...,x_n]= \frac{f^{(n)}( \eta )}{n!} $$