اثبات $x^{n+1}= \sum_{i=0}^n x_i^{n+1} \ l_i(x)+w(x) $

Question

فرض کنید $x \epsilon [a,b]$ و $l_i(x)$ چند جمله ای لاگرانژ باشد.همچنین داشته باشیم:

$$w(x)= \prod_{i=0}^n(x-x_i) $$

در اینصورت ثابت کنید:

$$x^{n+1}= \sum_{i=0}^n x_i^{n+1} \ l_i(x)+w(x) $$

Answer 1

می دانیم:

$$f(x)-P(x)=E(x) \Longrightarrow f(x)=P(x)+E(x) (1)$$

که در آن $f$ تابع مورد نظر,$P$ چند جمله ای درونیاب و $E$ خطای درونیابی است. می دانیم:

$$E(x)=w(x). \frac{f^{(n+1)}( \eta _x)}{(n+1)!} $$

که $ \eta _x \epsilon (a,b)$ و همچنین می دانیم:

$$P(x)= \sum_{i=0}^n l_i(x).f(x) $$

حال فرض کنید $f(x)=x^{n+1}$, در نتیجه داریم:

$$f^{(n+1)}( \eta _x)=(n+1)!$$

پس با جایگذاری در $(1)$ خواهیم داشت:

$$x^{n+1}= \sum_{i=0}^n l_i(x). x_{i}^{n+1} +w(x) $$

و حکم ثابت می شود.