۴۰ نفر دور یک میز نشسته اند. به چند طریق می توان ۵ نفر گزینش کرد که بین هر دو تای آنها دست کم ۳ نفر نشسته باشد؟

Question

40 نفر دور یک میز نشسته‌اند. به چند طریق می‌توان 5 نفر از آنان انتخاب کرد به‌طوری که بین هر دو فردِ انتخاب‌شده حداقل 3 نفر دیگر قرار داشته‌باشد؟

Answer 1

به نام خالق ریاضیات.

این 5 نقر باید طوری انتخاب شوند که:

$A,x_1,B,x_2,C,x_3,D,x_4,E,x_5$

که در آن $x_1,x_2,...,x_4,x_5$ تعداد افراد بین آنهاست. توجه کنید که $x_5$ تعداد افراد بینE,A است. حال با توجه به شرط مسئله:

$x_1,x_2,...,x_5 \geq 3$

از طرفی هم بدیهیست که:

$x_1+x_2+...+x_5=35$

حال می بایست ابتدا ما نفر اول را معلوم کنیم و سپس شرایط بالا را اجرا کنیم. برای این کار از این ۴۰ نفر یک نفر را انتخاب می کنیم. اما این امکان وجود دارد که این 5 نفر تکرار شود. پس:

$ \binom{24}{4}×40× \frac{1}{5}$

Comments

به نظرم تا معادله آخر عالی نوشتین در واقع به جای انتخاب 5نفر دارید از یک نشست 40 نفره 35 را انتخاب واز جمع 40 نفر حذف می کنید پس هر انتخاب 35تایی منجر به انتخاب 5 نفر مورد نظر می شود.بنابراین همین جواب می باشه یعنی
$$ \binom{35-10-1}{5-1} = \binom{24}{4} $$

---

@amir7788 دور میز است. نفر اول معلوم نیست.

---

@Elyas1با مثال بگم سه دور میز ی نشسته اند به چند طریق می توان 1 نفر انتخاب کرد؟ یا دو نفر انتخاب کرد؟ آیا دور میز نشسته اند اهمیت داره؟

---

@amir7788 دور میز بودن اهمیت دارد. استاد @AmirHosein  و @good4us اگر می شود شما نظرتان را بگویید.

---

@amir7788 مثالی که زدید با پرسش فرق دارد. ما نمی دانیم نفر اول کیست و فقط می دانیم بین  5 نفر چند نفر باید باشند. مثلاً بین نفر اول و دوم $4$ نفر است ولی سوالی که پیش می آید این است که نفر اول کیست؟

---

@Elyas پاسخ‌تان درست است. @amir7788 هر سه عبارت آورده شده در خط پایانیِ پاسخ @Elyas الزامی است. ابتدا دایره را به یک صفِ شماره‌دار ۱ تا ۴۰ تبدیل می‌کنید که به ۴۰ روش امکان دارد. سپس با روش معمول ۵ نفر با دست‌کم ۳ فاصلهٔ خواسته‌شده را از این صف انتخاب می‌کنید با فرض اینکه نفر نخست همیشه نفر ابتدای صف است. و اکنون باید هر حالت را از فضای صف‌مانند به فضای گردهماییِ دایره‌مانند برگردانید که خیلی ساده می‌توانید ببینید هر پاسخ دایره‌ای ۵ بار در اجتماع ۴۰ فضایِ صف مانند تکرار می‌شود.  برای اینکه بتوانید پرسش را شهودی درک کنید عددهای پرسش را کم کنید. برای نمونه «از بین ۶ نفر که دایره‌وار نشسته‌اند ۲ نفر بردارید که بین هر دوتا دست‌کم ۲ نفر فاصله باشد. یک بار بدون این روش و از روی شکل حل کنید که پاسخ ۳ است و دفعهٔ دیگر با این روش بروید $6\times\binom{0+2-1}{2-1}\times\frac{1}{2}=3$. خیلی راحت می‌توانید شش حالت صف‌وار را نیز بکشید و ببینید که هر پاسخ در دو فضای صف‌وار تکرار می‌شود و این دلیل تقسیم بر ۲ بوده‌است.

---

@amir7788 به مثال خودتان برویم. ۳ نفر دور یک میز نشسته‌اند. به چند طریق می‌توان ۱ نفر گزینش کرد؟ ۳ انتخاب برای شروع صف داریم. این سه صف را (صف سه‌نفره) بکشید. در هر مورد نفر نخست را برمی‌داریم و چیز دیگری برای انتخاب نداریم. اکنون پاسخ‌ها را به دایره برمی‌گردانیم. در هر پاسخ ۱ نفر برداشته‌اید که ۱ دور به درازای ۱ برای چرخاندن ترتیبش بیشتر نیست! پس $3\times\binom{1}{1}\times\frac{1}{1}=3$ چه مشکلی وجود دارد؟ بیایید ۲ نفر گزینش کنیم. از هر یک از این سه صف نفر نخست و یک نفر دیگر انتخاب می‌کنیم. تا اینجا ۶ پاسخ ولی توجه کنید که زمان برگشتن به دایره دو تا دو تا پاسخ‌ها یکی می‌شوند! پس تقسیم بر ۲ نیاز است. اگر تقسیم بر دو را حذف کنید به پاسخ اشتباه می‌رسید. از سه گوشهٔ یک سه‌گوش، به چند حالت دو گوشه انتخاب می‌شود؟ ۳ حالت نه ۶ حالت. توجه کنید که ترتیب انتخاب‌ها مهم نیست یعنی «گوشهٔ ۱ و گوشهٔ ۲» با «گوشهٔ ۲ و گوشهٔ ۱» فرقی ندارد.

---

@AmirHosein. بسیار عالی باز کردید اما جواب هر از لحاظ ترکیب حل کنید دیگر دور میز اهمیت ندارد. از بین سه نفری که دور میز نشسته اند انتخاب یک نفر جوابc(3,1) است و برای انتخاب دو نفر هم c(3,2)=3 می باشد......اما  راه حلم در حالت کلی درست نمی باشه. حق با شماست ممنون از فرصت که برای حل این مسئله گ ذاشتید