این پرسش و نمونههای مشابهشان ساده هستند. توجه کنید که چیزی که دنبالش هستید را این گونه میتوانید بازگویی کنید. یک نقطهٔ ثابت دارید $A$، و یک مجموعه (میتوانید هر چیزی حتی نارویه باشد) $S$. این دو شیء میتوانند در فضایی با بعد دلخواه باشند و فقط به ۳ بعد محدود نیست. در مثال شما ۳ بعدی هستند. داریم $A=(0,0,0)$ و $S=\lbrace (x,y,z,)\in\mathbb{R}^3\mid z^2-xy-1=0\rbrace$. فرض کنید $(x,y,z)$ یک نقطه در $S$ باشد، فاصلهٔ این نقطه از $A$ میشود
$$\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2+(z-z_A)^2}$$
اکنون شما میخواهید پرسش بهینهسازی زیر را حل کنید.
$$\min(\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2+(z-z_A)^2})\;\text{ s.t. }\;(x,y,z)\in S$$
یعنی یافتن کمینهٔ تابع سهمتغیرهٔ بالا که $x_A$ و $y_A$ و $z_A$ ثابت هستند ولی $x$ و $y$ و $z$ میتوانند بر روی $S$ تغییر کنند. توجه کنید که تابعی که میخواهیم کمینه کنیم زمانی کمینه میشود که بدون جذرش کمینه شود (زیر جذر نامنفی است). و این نکته به شکل اگر و تنها اگر است. پس در پرسش شما هدف به شکل زیر بازنویسی میشود.
$$\min(x^2+y^2+z^2)\;\text{ s.t. }\;z^2-xy-1=0$$
اکنون باید به یاد چیزی افتاده باشید! ضریبهای لاگرانژ. در همین سایت تعداد زیادی پست پیرامون ضریبهای لاگرانژ هست پس بدون مقدمه سراغ دنبالهٔ حل میرویم. یک متغیر کمکی میافزائیم و تابع جدید $H$ زیر را تعریف میکنیم.
$$H(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)+\lambda(z^2-xy-1)$$
نقطهای که کمینهٔ شما در آن رخ خواهد داد جزو نقطههای بحرانی این تابع خواهد بود. پس دستگاه مشتقهای پارهای (جرئی) را تشکیل و حل میکنیم. $\frac{\partial H}{\partial x}=\frac{\partial H}{\partial y}=\frac{\partial H}{\partial z}=\frac{\partial H}{\partial \lambda}=0$. این دستگاه دارای چهار پاسخ حقیقی است. این چهار نقطه را در تابع فاصلهٔ اصلی میگذاریم. دوتا از آنها مقدار ۱ و دوتای دیگر مقدار $\sqrt{2}$ را میدهند. پس کمترین فاصلهٔ ممکن برابر با ۱ است و در دقیقا دو نقطه رُخ میدهد، نقطههای $(0,0,1)$ و $(0,0,-1)$. در زیر محاسبهها با کمک نرمافزار Maple آورده شدهاند. البته این محسابهها با دست نیز به سادگی انجام میشدند. بعلاوه رسم یک شکل نیز افزودهشدهاست.
H:=((x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2)+lambda*(z^2-x*y-1);
F:=[seq(diff(H,j)=0,j in [x,y,z,lambda])];
sols:=[solve(F,{x,y,z,lambda},real)];
for j in sols do
eval((x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2,j);
end do;
pPoints:=plots:-pointplot3d([[0,0,0],[0,0,-1],[0,0,1],[1,-1,0],[-1,1,0]],color=[yellow,blue,blue,red,red],symbol=solidsphere,symbolsize=20):
pSurface:=plots:-implicitplot3d(z^2-x*y-1=0,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2,style=surface,color=cyan,transparency=0.5):
plots:-display(pPoints,pSurface,scaling=constrained,view=[-2..2,-2..2,-2..2]);
شکل مورد نظر در زیر آمدهاست. نقطهٔ $A$ به رنگ زرد، رویهٔ مورد نظر با رنگ آبی آسمانی و با حالت نیمهشفاف، نقطههایی که کمینه در آنها رخ میدهد با آبی و دو نقطهٔ اضافه با رنگ قرمز نمایش دادهشدهاند.
