$375=3 \times 5^3$
قضیه اول سیلو میگوید:
اگر $G$ یک گرو متناهی با مرتبه $p^nm$ باشد که $n,m \in N$ و $p$ عدد اول و $(m,p)=1$ آنگاه برای هر $1 \leq s \leq n$ ، $G$ دارای زیرگروهی از مرتبۀ $p^s$ است.بعلاوه هر زیرگروه $G$ با مرتبه $p^s$ که $1 \leq s<n$ ، در یک زیرگروه با مرتبه $p^{s+1}$ نرمال است.
از قضیه دوم سیلو نتیجه می شود که هر دو $p$ -سیلو (زیر گروه های با مرتبه $p^n$ ) مزدوجند.بنابر این اگر $p$ -سیلو زیرگروهی یکتا باشد نرمال است.قضیه سوم سیلو می گوید که اگر $n_p$ تعداد $p$ -سیلو زیرگره ها باشد آنگاه $p \mid n_p-1$ و $n_p | o(G)$.
از قضیه اول سیلو می توان نتیجه گرفت که $G$ داری زیرگروهی مانند $K$ از مرتبه $5$ و دارای زیرگروهی $3$ -سیلو مانند $H$ از مرتبۀ $3$ است.به راحتی می توان نتیجه گرفت که $n_3=1$ و لذا $H$ در $G$ نرمال است و از آنجا $HK=KH$ و از آنجا $HK$ زیرگروه $G$ است.
از طرفی دیگر:
$H \cap K \leq H,K \Rightarrow o(H \cap K) | o(H),o(K) \Rightarrow o(H \cap K) | (3,5)=1 \Rightarrow o(H \cap K)=1$
$ \Rightarrow o(HK)= \frac{o(H)o(K)}{o(H \cap K)}= \frac{3 \times 5}{1}=15$
$ \Box $
