چرا $2^{-3}=(\frac 12)^3$

Question

نمیدونم چطور به زبان ریاضی بنویسم عذر میخوام چطور دو به توان منفی سه برابر است با یک دوم به توان سه؟ برام اثبات کنید که $2^{-3}=(\frac 12)^3$

Comments

@soheil02 از لحن بهتری استفاده کنید. «برام اثبات کنید» خیلی معنا و حالت جالبی ندارد! کسی در قبال شما تکلیفی ندارد. برای نمونه می‌توانستید اینگونه بنویسید که «علتِ پشت این مطلب که اینگونه تعریف می‌کنند چیست؟» یا «آیا می‌شود برایم توضیح دهید که چرا ...؟»

Answer 1

ابتدا این بلاگ را مشاهده فرمائید!

همانطور که گفته شده عبارت توانی صفر را به صورت $ (a^0:=1 \ \ , \ \ a\neq 0 )$ تعریف میکنیم!

و عبارت توانی صحیح منفی را به صورت $ (a^{-n}:=\dfrac{1}{a^n} \ \ , \ \ a\neq 0 )$ تعریف میکنیم !

و باید بدانید وقتی چیزی را تعریف میکنیم دنبال اثبات برای آن نیستم. و تعاریف قابل اثبات نیستن که بخواهیم اثبات کنیم.

Comments

@saderi7 البته با اینکه تعاریف قابل اثبات نیستند، اما می‌توان با چند محاسبه آن هارا توجیه کرد که خب اثبات محسوب نمی‌شود.
به هر حال من کاملاً با شما موافق هستم.

---

@ Math.Al
همانطور که در قسمت بلاگ نوشته شده ما از تعاریف قبلی کمک میگیریم و به دنبال تعمیم آن هستیم و برای آنکه تعمیم دهیم باید ویژگی مشترکی با تعریف قبلی داشته باشد!
در دیدگاه دیگر که نوشتید $a^{-n} \times a^{n}=a^0$ این اثبات نیست. چون شما عبارت توانی صفر را تعریف نکردید چیست ! و همچینن عبارت توانی صحیح منفی هم نگفتید چه مفهومی داد و در رابطه قرار دادید و همیچنین قانون هم که ضرب دو عبارت توانی که پایه یکسان دارند حاصل برابر یک عبارت توانی با پایه یکسان به توان مجموع دو توان هست را ثابت نکردید!! ( این اثبات برای عبارت توانی صحیح مثبت است که شما در این حالت قرار دادید !).

---

@saderi7 البته من خودم هم می‌دانستم که $a^{-n} \cdot a^n=a^0$ یک اثبات نیست و فرض کردم که این مواردی که شما فرمودید اثبات شده هستند، آن دیدگاه را به این دلیل نوشتم که شاید بتواند به آقای @soheil02 کمکی در فهم این موضوع کند.

Answer 2

سلام

با فرض $(a \neq 0)$ بطور کلی داریم :

$1=a^0= a^{n-n} =a^n \times a^{-n} \Rightarrow a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

کافیه فقط برای سوال شما a=2 و n=3 در نظر گرفته شه

Comments

@Ramtin به صورت محاسباتی اثبات کردید و بسیار متشکرم, اما کلا چطور aبه توان منفی n با معکوس a به توان n ارزش برابری دارد؟ من واقعا این را درک نمیکنم

---

اره میدونم چی میگید

حالا من دلیلشو میگم ولی شاید اساتید بتونن کمک کنن

بعضی چیزا تو ریاضی، درکشون کلا فقط محاسباتی میمونه (حداقل فعلا اینطوره)

مثلا شما ببنیید صفر فاکتوریل میشه 1

کسی اثباتش نکرده منتها از استقرا و توجیه و این که توی بیشتر مسائل 1 بودن 0! کمک میکنه درنتیجه صفر فاکتوریل رو 1 تعریف میکنیم

اینم که شما میگید تعریفه که عدد به توان منفی n بشه یک به روی عدد به توان مثبت n

---

@soheil02 فقط کافیست برابریِ $a^{-n}\cdot a^n=a^0$ را بر حسب $a^{-n}$ حل کنید، که $a^0$ برابر با $1$ می‌باشد. البته فکر نمی‌کنم که این یک اثبات محسوب می‌شود، اما می‌تواند به شما در فهم این موضوع کمک کند.

---

احساس میکنم علامت $\times$ به جای + منظورتون هست