جایگشت با تعداد زوج A در شروع

Question

دو H، یک V و هفت A چند آرایش خطی (جایگشت) دارند بطوریکه با یک تعداد زوج A شروع شوند؟ بدون هیچ شرطی جایگشت برابر خواهد بود با: 10!/(2!7!) چون H و A تکرار میشوند نیاز ب فاکتوریل های مخرج هست. ولی اگر بخوام شرط رو اضافه کنم باید هر حالت رو جداگانه بشمرم (صفر A، دو A و...) مشکل حرف بعد از Aها در شروع هست. اگه بگم یا H هست یا V و 2 بذارم مشکلی که بوجود میاد اینه ک نمیشه فهمید بعدا باید (بخاطر غیرمتمایز بودن) تقسیم بر 2!7! بشه یا 6!2! یا 7! یا...

Answer 1

میتوانید با حالت بندی روی تعداد Aها و اینکه بعد از ان چه حرفی بیاید حالت بندی کنید : حالت اول هیچ حرف Aای در اولین جایگاه نباشد در ان صورت یا حرف H و یا حرف V در جایگاه اول خواهد بود اگر حرف H باشد برای جایگاه های باقی مانده هفت حرف A و یک حرف H و یک حرفV خواهیم داشت در نتیجه تعداد حالات !7/!9 خواهد بود ، اگر هم حرف V باشد برای جایگاه های دیگر هفت حرف A و دو حرف H خواهیم داشت درنتیجه تعداد حالات !2!7/!9 خواهد بود به طریق مشابه میتوان پاسخ را در حالات دیگر به دست اورد که جواب هر کدام از حالاتی که جایگشت با 6A 4A 2A اغاز شود و سپس حرف بعدی V یا H باشد به ترتیب برابر است با 2!5!/!7 , !5/!7

!2!3/!5 , !3/! 5

!3 , !2/!3 خواهد بود درنتیجه پاسخ جمع عبارات است.

و دلیل اینکه بعد از حروف A حالات حروف V وH را در نظر میگیریم این است که بعد از اخرینA دیگر حرف Aنمی تواند بیاید در نتیجه یکی از حروف V ,Hمی اید و بعد از ان مانند جایگشت با تکرار عمل کنیم .