جایگشت دوری با میز مربعی

Question

به چند راه میتوان 8 نفر را که با A, B, C, ...., H نشان داده‌ایم به دور میز مربع شکل بنشانیم، که در آن شکل‌های 4.1(الف) و 4.1(ب) یکی به حساب می‌ایند اما از شکل 1.4(ج) متمایزند؟ میدونم که جایگشت دوری برای میز گرد (n-1)! میباشد اما کسی ایده‌ای برای این مسئله داره؟ پایینتر منطق اصلی بدست اوردن فرمول (n-1)! رو نوشتم گفتم شاید باید از اون بدست بیاد ولی مطمعن نیستم.

.

.

.

اگر بخواهیم 6 نفر که با A, B, ... , F نشان میدهیم دور میز گردی بنشانیم، جای نفر اول (A) را مشخص میکنیم. اینکه A کجا بنشند هیچ تفاوتی ایجاد نمیکند. و سپس نوع نشاندن 5 نفر بعدی یک جایگشت خطی خواهد بود.

Answer 1

جواب سوال رو پیدا کردم و چون کسی جواب نداد و مشابهش رو توی اینترنت پیدا نکردم گفتم به اشتراک بذارم نفرات بعدی راحت تر به جواب برسن.

مشابه مسئله میز گرد ابتدا A رو قرار میدیم دو حالت داریم: 1.سمت چپ ضلع باشد: در این صورت یک جایگاه کنار A داریم (7 حالت) و بین 6 حرف باقیمانده دو تا را برای ضلع بعدی انتخاب میکنیم. این دو خود یک جایگشت 2! دارند بنابراین 2! مخرج انتخاب حذف میشود و داریم 65. برای ضلع بعدی هم دوتا از 4 حرف باقیمانده را انتخاب میکنیم و همین روال را در پیش میگیریم داریم 43 و برای ضلع اخر دو حرف بیشتر باقی نمانده و تنها یک انتخاب داریم با ضرب ان در 2! داریم 21 بنابراین 7! حالت داریم. 2.سمت راست ضلع باشد: مشابه روند بالا را تکرار میکنیم. بنابراین 7! + 7! یعنی 27! حالت داریم.

Answer 2

اگر 8 نفر دور میز گرد بنشیند اینطوری تعدا د حالات محاسبه می کنم ابتدا صندلیها را متمایز می گیرم پس تعداد حالات برابر $8!$ است. حال صندلی ها را یکسان می گیرم در این صورت هر دسته 8 تایی از حالات یکسانند $$ \frac{8!}{8} =7!$$ برای میز مربع هم همین کار را می کنم یعنی ابتدا صندلی ها را متمایز در نظر می گیرم که $8!$ حالات داریم اما هر دسته 4 تایی از حالات یکسانند پس داریم: $$ \frac{8!}{4} =2×7!$$