Question

در چند جایگشت از حروف کلمهٔ international، عبارت tan دوبار تکرار می‌شود؟

پاسخ کتاب: $\frac{9!}{2!2!}$.

راه من: $\frac{13!}{2!2!2!2!3!}$. یک دو فاکتوریل برای دو عدد i یک دو فاکتوریل برای دو عدد a یک دو فاکتوریل برای دو عدد t یک دو فاکتوریل برای دو بار عبارت tan و یک سه فاکتوریل برای تکرار ۳ بار n جدای از راه من، متوجه نمی‌شوم چرا پاسخ پیشنهادی کتاب تکرار n -ِ سوم را در نظر نمی‌گیرد؟

Comments

@قاسمـشبرنگ واژه‌های international و tan در پرسش text متن هستند و نه نام‌های متغیرهای ریاضی لذا در داخل دلار برای نمایش با فونت ریاضی قرار نمی‌گیرند. اگر در محیط ریاضی نیاز به استفاده داشته باشند نیز آنگاه باید در داخل دستور \text قرار بگیرند تا نمایش‌شان با نمایش متغیر ریاضی تفاوت داشته باشد.

---

بله.
متوجه شدم.

Answer 1

پرسشِ شما مشابه پرسشِ ۷، قسمت دال، در کتاب «ریاضیات گسسته، نوشتهٔ علیرضا علی‌پور، انتشارات نشر الگو، فصل سوم، صفحهٔ ۱۹۲-۱۹۳» است.

اما اشتباهِ شما: وقتی که ۱۳ فاکتوریل را در صورت گذاشته‌اید یعنی هر حرفی را آزادی کامل داده‌اید، در حالیکه وقتی کتاب یک واحد به جای ۳ واحد برای هر یک از int ها (یا tan های شما) برمی‌دارد، یعنی اینکه این سه حرف را کنار هم بسته‌ایم و هر سه با هم و با همین ترتیب مانند یک شی جابجا می‌شوند پس به جای ۱۳ شی ۹ تا شی داریم که می‌توانند جابجا شوند (دو تا سه حرف برداشته شده‌اند و دو تا یک سه-حرفیِ به هم چسبیده گذاشته شده‌اند پس $12-2(3)+2(1)=9$). و برای مخرج فاکتوریل ۳ برای $n$ نمی‌گذاریم چون پس از اینکه دو تا از nها بوسیلهٔ tanها اشغال شدند دیگه سه تا n نداریم، بلکه یک دانه n و دو دانه tan داریم و $\text{n}\neq\text{tan}$. در مخرج یک $2!$ برای تکرار tanها داریم و یک $2!$ برای تکرار i ها داریم. در واقع اشیاءمان به شکل زیر هستند.

$$\bbox[2pt, border:1px solid black]{tan},\;\bbox[2pt, border:1px solid black]{tan},\;\bbox[2pt, border:1px solid black]{i},\;\bbox[2pt, border:1px solid black]{e},\;\bbox[2pt, border:1px solid black]{r},\;\bbox[2pt, border:1px solid black]{i},\;\bbox[2pt, border:1px solid black]{o},\;\bbox[2pt, border:1px solid black]{n},\;\bbox[2pt, border:1px solid black]{l}$$

Answer 2

اگر شکا بخواهید $n_1$ مهر یکسان از نوع اول و $n_2$ مهره یکسان از نوع دوم و... و $n_k$ مهره یکسان از نوع $k$ ام را در یک ردیف کنار هم ردیف کنید تعداد حالات برابر است با: $\frac{(n_1+n_2+...+n_k)!}{n_!n_2!...n_k!}$

شما در واقع باید دو تا مهره از نوع tan و دو تا مهره از نوع ی و یک مهره از نوع e و یک مهره از نوع r و یک مهره از نوع n و یک مهره از نوع و و یک مهره از نوع ل را در یک ردیف مرتب کنید.لذا تعداد حالات برابر است با:

$\frac{(2+2+1+1+1+1+1)}{2!2!1!1!1!1!1!}= \frac{9!}{(2!)^2}$

$\Box$