Question

ثابت کنید اگر 1 > | f' (x)| آنگاه معادله ی f(x)=x حداکثر یک ریشه دارد. ممکن است قضیه بولتزانو بتواند به ما راهنمایی کند.

Answer 1

تعریف می کنیم $g(x)=f(x)-x$ . چون تابع $f$ مشتق پذیر است پس تابع $g$ نیز مشتق پذیر است . فرض کنید معادله $f(x)=x$ حداقل دو جواب متمایز $a,b$ را دارد پس $f(a)=a$ و $f(b)=b$ . بنابراین $f(a)-a=0$ و $f(b)-b=0$ . در نتیجه $g(a)=0$ و $g(b)=0$ . حال طبق قضیه بولتزانو $c \in (a,b)$ وجود دارد که $ g' (c)=0$ . اما $g' (x)= f' (x)-1$ پس $ f' (c)-1=0 $ بنابراین $ f'(c)=1 $ و این نتیجه با شرط $ \mid f' (x) \mid < 1$ در تناقض است پس معادله $f(x)=x$ حداکثر یک جواب دارد .