به نام خدا
$$\frac{1}{x} + \frac{7}{x} + \frac{13}{x} + \cdots + \frac{55}{x} = 5$$
برای حل این معادله برحسب $x$، ابتدا طرفین را در $x$ ضرب کنید.
$$1 + 7 + 13 + \cdots + 55 = 5x$$
اکنون به‌راحتی متوجه می‌شوید که طرف چپ معادله، مجموع جملات یک دنبالۀ حسابی با قدر نسبت 6 است. حاصل مجموع طرف چپ معادله را به‌دست آورید. فرمول محاسبۀ مجموع جملات یک دنبالۀ حسابی، به‌صورت زیر است:
$$S_n=\frac{n}{2}\cdot(a_1+a_n)$$
که $S_n$ نماد مجموع $n$-جملۀ اول دنباله و $n$ تعداد جملاتی از دنباله است که می‌خواهیم مجموع آن‌ها را به‌دست آوریم و همچنین $a_1$ و $a_n$ به‌ترتیب یعنی اولین و $n$-اُمین جمله از دنباله. در این مورد، $a_1$ برابر با $1$ و $a_n$ برابر با $55$ است. حالا فقط مقدار $n$ می‌مانَد. می‌دانیم که فرمول جملۀ $n$-اُم یک دنبالۀ حسابی، به‌صورت زیر است:
$$a_n=a_1+(n-1)d$$
پس برای به‌دست آوردن مقدار $n$، باید مقادیر $a_n$ یعنی 55 و $a_1$ یعنی 1 و $d$ (قدر نسبت) یعنی 6 را در تساوی بالا قرار دهید و بعد تساوی را برحسب $n$ حل کنید تا مقدار $n$ به‌دست آید.
$$55=1+(n-1)\cdot 6 \Longrightarrow n = 10$$
حالا کافی است تا مقادیر $n=10$، $a_1=1$ و $a_n=55$ را در فرمول $S_n=\frac{n}{2}\cdot(a_1+a_n)$ قرار دهید تا $S_{10}$ به‌دست آید.
$$S_{10}=\frac{10}{2}\cdot(1+55) \Longrightarrow S_{10}=280$$
در نتیجه:
$$280=5x \Longrightarrow x=56$$
$$\frac{3}{2x} + \frac{4}{3x} + \frac{5}{4x} = 3x$$
برای حل این معادله برحسب $x$، ابتدا طرفین را در ک. م. م مخرج‌ها ضرب کنید. ک. م. م $2x$، $3x$ و $4x$ برابر با $12x$ است؛ پس طرفین معادله را در $12x$ ضرب کنید.
$$18 + 16 + 15 = 36x^2 \Longrightarrow 49 = 36x^2 \Longrightarrow x = \pm \sqrt{ \frac{49}{36} } = \pm \frac{7}{6} $$
