چرا زمانی که یک کسر را بر کسر دیگر تقسیم می کنیم، حاصل میشود کسری که صورت آن ضرب صورت اولی در مخرج دومی و مخرج آن ضرب صورت دومی در مخرج اولی است؟

Question

زمانی که یک کسر را بر کسر دیگری تقسیم می‌کنیم، حاصل می‌شود کسری که صورت آن برابر با ضرب صورت اولی در مخرج دومی است و مخرج آن ضرب صورت دومی در مخرج اولی است. علت اینکه می‌توان چنین کاری کرد چیست؟

Comments

@soheil02 به جای‌تان عنوان و متن پرسش را ویرایش کردم. مشابه همین کار را با پست‌های دیگرتان انجام دهید.

Answer 1

به نام خدا.

اگر

$ \frac{a}{b} =x \Longrightarrow bx=a$

طرفین را بر$ax$ تقسیم کنیم به نتیجه زیر می رسیم:(a عددی به جز صفر است)

$\frac{b}{a}= \frac{1}{x}= \frac{1}{ \frac{a}{b} }$

حال فرض کنید که دو کسر $\frac{c}{d} $ و $ \frac{a}{b} $ را بر هم تقسیم کرده ایم:

$ \frac{ \frac{c}{d} }{ \frac{a}{b} }= \frac{c}{d}× \frac{1}{ \frac{a}{b} }= \frac{c}{d}× \frac{b}{a}$

Comments

@Elyas1 عبارت نخستی که نوشتید قابل اثبات است. کافی است به تعریف کسر و تعریف تقسیم توجه کنید. $\frac{1}{(\frac{a}{b})}$ یعنی «حاصلِ تقسیم ۱ بر «حاصلِ تقسیم $a$ بر $b$»». همینطور $\frac{b}{a}$ یعنی «حاصلِ تقسیم $b$ بر $a$». این دو عبارت دو عدد هستند که برابر بودن یا نبودنشان قابل بررسی است.

---

@AmirHosein ممنون ویرایش کردم. اگر  باز هم مشکلی دارد ممنون میشم بفرمایید.

---

@Elyas1 خیلی عالی. به جای پرسش‌کننده پاسخ‌تان را برگزیدم. خیلی خوب می‌شد اگر پرسش‌کننده‌ها در قبال پست‌های پرسش‌شان احساس مسئولیت می‌کردند.

---

@AmirHosein خیلی ممنونم.

Answer 2

با درود. فرض کنید قرص نانی را برابر یک واحد بدانیم. میخواهیم از نصف نان $ \frac{2}{3} $ اش را به دوستمان بدهیم. یعنی $ \frac{1}{2}\times\frac{2}{3}$. میخواهیم بدانیم از کل نان چه کسری به دوستمان تعلق میگیرد. واضح است که ابتدا نصف قرص را باید به سه قسمت تقسیم کنیم و دو واحد آنرا به دوستمان بدهیم. بنابراین می نویسیم.

$ \frac{1}{2} : \frac{3}{2}= \frac{1}{2}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

اما چیزی که اکثراً از آن غافلند (بعلت عدم ذکر عدد 1 در ضرب و تقسیم)، این است که چون اعداد طبیعی زیرمجموعه اعداد گویا هستند، وارونه شدن کسر دوم در تقسیم اعداد طبیعی هم اتفاق می افتد.

$ \frac{a}{1} : \frac{b}{1} = \frac{a}{1} \times \frac{1}{b} = \frac{a}{b} $

یعنی در مقایسه با مثال بالا اگر a را نصف قرص نان فرض کنیم این بار میخواهیم آنرا به b قسمت تقسیم کنیم و یک واحد آنرا به دوستمان بدهیم. بنابراین وارونه شدن کسر دوم در تقسیم کسرها چیز عجیبی نیست.

Answer 3

بگذارید با یک مثال توضیح دهم فرض کنیم بخواهیم $\frac{4}{3}$ را بر $\frac{7}{2}$ تقسیم کنیم. با مساوی کردن مخرج‌ها کسرهایمان برابر می‌شوند با

$$\frac{4\times2}{3\times2}\quad\text{ و }\quad\frac{7\times3}{2\times3} $$

مخرج‌ها مساوی شده‌اند. اگر دو عبارت اخیر را بر هم تقسیم کنیم و از مخرج‌ها صرف نظر کنیم داریم؛

$$\frac{4\times2}{3\times7}$$

اگر عبارت اخیر را تفکیک کنیم داریم؛

$$\frac{4}{3}\times\frac{2}{7}$$

و این یعنی کسر اول را نوشته و کسر دوم را معکوس کرده‌ایم.

Answer 4

به نام خدا

در واقع می‌خواهید بدانید که چرا تساوی زیر درست است ($b,c,d\not=0$):

$$ \frac{a}{b}÷ \frac{c}{d}= \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

این تساوی اثبات ساده‌ای دارد. برای اثبات آن، ابتدا می‌نویسیم:

$$ \frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d}= \Large\frac{\big(\frac{a}{b}\big)}{\big(\frac{c}{d}\big)} $$

که بدیهی است. سپس کافی است که صورت و مخرج کسر را در $ \large\frac{d}{c} $ ضرب کنیم:

$$\Large\frac{\big(\frac{a}{b}\big)}{\big(\frac{c}{d}\big)}=\Large\frac{\big(\frac{a}{b}\big)\cdot\big(\frac{d}{c}\big)}{\big(\frac{c}{d}\big)\cdot\big(\frac{d}{c}\big)}= \frac{\big(\frac{a}{b}\big)\cdot\big(\frac{d}{c}\big)}{1}= \frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$$ $$\large\therefore \frac{a}{b}÷ \frac{c}{d}= \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

پس حکم ثابت شد. $\blacksquare$

Comments

@Math.Al : اثبات ساده و خوبی بود.1+