نقطه ای را روی سهمی با برابری $y=x^2-4x+6$ بیابید که فاصله اش از مبدأ مختصات کمترین باشد.

Question

سهمی‌ای داریم به معادلهٔ $y=x^2-4x+6$. نقطه‌ای بر روی این سهمی بیابید که فاصله‌اش از مبدأ مختصات کمترین باشد؟

Comments

@kami70 از اینکه به مرجع پرسش اشاره کردید ممنون، ولی توجه کنید که مرجع‌دهی باید به شکل استاندارد و یکتا صورت بگیرد. برای نمونه کتاب «ریاضیات عالی مهندسی» نوشتهٔ «مهدی فرشاد» چند جلد دارد. پرسش شما از کدام جلد است؟ و اگر هم تمرینی از کتاب بوده‌است شمارهٔ فصل و شمارهد تمرین را هم بیاورید. برای تایپ ریاضی نیز می‌توانید به پست‌های زیر نگاه بیندازید.
https://math.irancircle.com/56
https://math.irancircle.com/52

Answer 1

هر نقطه روی این سهمی به صورت $(x, x^2-4x+6)$ است. پس فاصله‌ی هر نقطه از سهمی با مبدا به صورت زیر محاسبه می‌شود: $$d(x) = \sqrt{(x^2)+(x^2-4x+6)^2}$$ $$(d(x))^2=(x^2)+(x^2-4x+6)^2$$ ما می‌خواهیم $x$ی را پیدا کنیم که مقدار $(d(x))^2$ را کمینه کند. با گرفتن مشتق آن نسبت به $x$ داریم: $$ \frac{\partial (d(x))^2}{\partial x} = 2x + 2(2x - 4)(x^2 - 4x + 6)$$ $$ \frac{\partial (d(x))^2}{\partial x} = 0 \Longrightarrow x \approx 1.622$$ پس هنگامی که $x$ برابر $1.622$ است فاصله کمینه می‌شود.

Comments

@mahdimoroآخرشو نفهمیدم.

---

@kami70 به صورت کلی برای اینکه کمترین فاصله رو پیدا کنیم، باید نقطه ای رو پیدا کنیم که مشتق فاصله از مبدا توی اون نقطه صفر میشه. معادله‌ی آخر هم یک معادله ی درجه ۳ هست که به سادگی تجزیه نمیشه و باید یک نرم افزار اون رو حل کنه.

---

@kami70 اگر هم می‌خواهید دستی آن را حل کنید می‌توانید از روش‌هایی مانند روش نیوتن-رافسن یا دوبخشی کردن یک بازه و استفاده از قضیهٔ مقدار میانی و روش‌های زیاد دیگری استفاده کنید.