من اینگونه در نظر میگیرم که تعداد پرتاب تا نخستین فلان یعنی شمارهٔ پرتابی که نخستین فلان دیده شدهاست. در صورتی که منظور تعداد پرتابهای پیش از دیدهشدن نخستین فلان بودهباشد به روش یکسان میتوانید پاسخ را بیابید یا یک واحد به دستآورد آخر پاسخ بیفزائید (توجه کنید که جمع با عدد ثابت را میتوان از امید ریاضی بیرون آورد).
به شرط رویداد $Y$ برابر با ۵ باشد یعنی در پنجمین پرتاب حتما فقط حالت عدد ۵ دیده شود و پیش از آن در چهار پرتاب پیشین عدد ۵ دیده نشود. پس برای شمردن حالتها پیش از پرتاب پنجم به جای ۶ برآمد، ۵ برآمد دارید. در پرتاب پنجم تنها ۱ برآمد دارید و بعد از آن پرتاب هر ۶ برآمد ممکن هستند. در نتیجه اگر احتمال آمدن نخستین عدد ۶ را در پرتاب $n$اُم برای $n$ از کوچک به بزرگ در زیر از چپ به راست مرتب کنیم داریم:
$$\frac{1}{5},\;\frac{4}{5}\frac{1}{5},\;(\frac{4}{5})^2\frac{1}{5},\;(\frac{4}{5})^3\frac{1}{5},\;(\frac{4}{5})^4(0),\;(\frac{4}{5})^4(1)\frac{1}{6},\;(\frac{4}{5})^4(1)\frac{5}{6}\frac{1}{6},\;(\frac{4}{5})^4(1)(\frac{5}{6})^2\frac{1}{6},\;\cdots$$
باید برایتان دلیل تک تک مقدارهای بالا روشن باشد. در واقع در هر مرحله احتمال نیامدن ۶ برای پرتابهای $i\lneqq n$ و آمدن ۶ در پرتاب $n$ را در هم ضرب میکنید. پس اگر تعریف کنیم $f(n)\colon =P(X=n\mid Y=5)$ آنگاه داریم:
$$f(n)=\begin{cases}
\frac{1}{5}(\frac{4}{5})^{n-1} & ; & n\leq 4\\
0 & ; & n=5\\
\frac{1}{6}(\frac{4}{5})^4(\frac{5}{6})^{n-6} & ; & n\geq 6
\end{cases}$$
توجه کنید که داریم $\sum_{n=1}^\infty f(n)=1$. اگر میخواهید با سادهسازی محسابه کنید توجه کنید که
$$\sum_{n=1}^{m}aq^{n-1}=a\frac{q^{(m-1)+1}-1}{q-1}$$
و
$$\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}=\lim_{m\to\infty}a\frac{q^{m}-1}{q-1}$$
که اگر $0<q<1$ آنگاه سادهتر شدهٔ فرمول خط پیشین $\frac{a}{1-q}$ میشود. با کمک نرمافزار Maple نیز میتوانید تابع چندضابطهای تعریف کنید و جمع بالا را انجام دهید (خود نرمافزار سادهسازی یا استفاده از فرمول و غیره را انجام میدهد).
f := n -> piecewise(n <= 4, 1/5*(4/5)^(n - 1), n = 5, 0, 6 <= n, 128/1875*(5/6)^(n - 6));
limit(sum(f(n), n = 1 .. m), m = infinity);
توجه کنید که چون جمعتان متناهی نیست نمیتوانید از دستور add استفاده کنید و به جایش باید از دستور sum استفاده کنید و کران بالا را یک متغیر جدید معرفی کنید مانند m و سپس با کمک دستور limit حد بگیرید زمانیکه $m\to\infty$.
توجه کنید که در صورت استفاده از فرمول، یک قسمت جمع متناهی برای ۴ جملهٔ نخست و یک قسمت سری (جمع نامتناهی) برای جملهٔ ششم به بعد دارید و سپس حاصل هر دو را حمع کنید. این دو عدد به ترتیب برابر میشوند با $\frac{369}{625}$ و $\frac{256}{625}$ که جمعشان نیز ۱ است.
برگردیم به محاسبهٔ امیدریاضی. دوباره با کمک نرمافزار میتوانید $\sum_{n=1}^\infty nf(n)$ را حساب کنید؛
limit(sum(n*f(n), n = 1 .. m), m = infinity);
برای محاسبهٔ دستی به محاسبهٔ زیر توجه کنید. برای ۴ جملهٔ نخست نیز میتوانید به روش مشابه فرمول بدست آورید یا جمع ۴ عدد را مستقیم انجام دهید. به هر حال برای جمع $nf(n)$ که $n\geq 6$ فرمول بدست میآوریم. تعریف کنید $g(q)=\sum_{n=6}^\infty aq^{n-6}$. پس
$$\begin{array}{l}
\sum_{n=7}^\infty a(n-6)q^{n-7}=g'(q)\\
\sum_{n=7}^\infty anq^{n-7}=g'(q)+6\sum_{n=7}^\infty aq^{n-7}\\
\sum_{n=6}^\infty anq^{n-6}=6a+q\Big(g'(q)+6\sum_{n=7}^\infty aq^{n-7}\Big)=6a+q\Big((a\frac{q^{n-5}-1}{q-1})'_q+6a\frac{q^{n-6}-1}{q-1}\Big)
\end{array}$$
حاصل جمع دوباره برای ۴ جملهٔ نخست و جملهٔ ششم به بعد به ترتیب برابر میشوند با $\frac{821}{625}$ و $\frac{2816}{625}$. جمع آنها که عدد خواستهشده است میشود $\frac{3637}{625}$ که دقیقا برابر است با $5.8192$.
