ثابت کنید اگر وسط اضلاع چهار ضلعی مقعر را بهم وصل کنیم، مساحت چهار ضلعی حاصل، نصف مساحت چهار ضلعی مقعر اصلی است.

Question

برای محدب بلدم ولی مقعر رو نه می خواستم مساحت دو مثلث های کناری بوجود امده توسط وصل کردن اضلاع رو بدست بیارم ولی نتونستم

Answer 1

• وسطهای چهار ضلعی مقعر ABCD یک متوازی الاضلاع می باشد. فرض می کنیم قطرها ی چهارضلعی همدیگر را در نقطه G با زاویه بتا $\beta$ قطع کنند مطابق شکل زیر

فرض کنید $$AC=2c,BG=2a,GD=2b,CG=h$$

• مساحت متوازی الاضلاع $EFNM$ برابر است با

$$S_{EFNM} =(a+b) csin \beta$$

• از طرف داریم $$S_{ACD} =S_{AGD} - S_{CGD}$$ $$\quad= \frac{1}{2} (2c+h)(2b)sin\beta- \frac{1}{2} (h)(2b)sin\beta$$

$$S_{ACD}=2bcsin\beta$$

به طور متشابه داریم

$$S_{ACB}=2acsin\beta$$

با یک مقایسه به نتیجه مورد نظر خواهیم رسید