احتمال بیش از دو بار زنگ خوردن تلفن، در یک بازه زمانی خاص

Question

بین ساعت 8 تا 9 صبح، احتمال آنکه در طول 15 ثانیه، تلفن زنگ بخورد، برابر $ \frac{1}{30} $ است و احتمال آنکه در طول 15 ثانیه بیش از یک بار زنگ بخورد عملا برابر صفر است. مطلوب است احتمال آنکه بین ساعت 8 تا 9 صبح، تلفن بیش از دو بار زنگ بخورد. این احتمال را هم به صورت دقیق و هم به صورت تقریبی به دست بیاورید. چیزی که خودم فهمیدم، برای حالت تقریبی باید از نقاط پواسون استفاده کرد. ولی در تشخیص پارامتر هایش مشکل دارم. در حالت دقیق هم نمیدانم چطور باید محاسبه کرد. ممنون

Comments

@AmirHosein
دکتر شما میتوانید درباره این سوال راهنمایی بفرمایید؟

Answer 1

بازه زمانی یک ساعت است که برابر $\frac{60 \times 60}{4} $ تا $15$ ثانیه ای است و چون در توزیع پواسن پارامتر آن یعنی $ \lambda $ میانگن و امید ریاضی و واریانس است پس $ \lambda = \frac{60 \times 60}{4} \times \frac{1}{30} =30$.یعنی بطور میانگین در این بازه زمانی $30$ بار تلفن زنگ می زند.بنابراین:

$p(X=x)=\frac{e^{- \lambda } \lambda ^x}{x!}= \frac{e^{-30}30^x}{x!} ,x=0,1,2,...$

حالا جواب مسأله به صورت زیر است:

$p(X>2)=1-P( \leq 2)=1-p(x=0)-p(X=1)-p(X=2)$

$=1-e^{-30}( \frac{30^0}{0!} + \frac{30^1}{1!} + \frac{30^2}{2!} )$

$ \Box $