کمترین مقدار $n$و نقاط $x_0,x_1,...,x_n $را چنان بیابید که خطای درونیابی$ f(x) $درنقاط فوق حداکثر$ {10}^{-6} $باشد.

Question

تابع $f(x)=cos x$ در بازه ی $[0, \frac{ \pi}{2}] $ مفروض است.کمترین مقدار $n$و نقاط $x_0,x_1,...,x_n$ را چنان بیابید که خطای درونیابی تابع $f(x)$ در نقاط فوق حداکثر ${10}^{-6}$ باشد.

Answer 1

اگر نقاط درونیابی را $x_0 , x_1, \ldots ,x_n$ را صفرهای چندجمله ای چبیشف $T_{n+1}(x)$ در نظر بگیریم آن‌گاه طبق مسئله (نشان دهید:$ | E(x) | \leq \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}. \frac{(b-a)^{n+1}}{2^{2n+1}} $) کافی است کوچکترین $n$ را پیدا کنیم که در رابطه زیر صدق کند:

$$ | E(x) | \leq \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}. \frac{(b-a)^{n+1}}{2^{2n+1}} $$

که در آن $a=0$،$b=\frac{\pi}{2}$ و $M_{n+1}=max_{0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}} |(cos(x))^{(n+1)}|=1$ پس با این وجود داریم: $$ | E(x) | \leq \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}. \frac{(b-a)^{n+1}}{2^{2n+1}} $$ $$ | E(x) | \leq \frac{(\frac{\pi}{2}-0)^{n+1}}{(2^{2n+1})(n+1)!} = \frac{(\pi)^{n+1}}{(2^{3n+2})(n+1)!} \leqslant 10^{-6} $$

که با جایگذرای می‌توان نشان داد که جواب حاصل $n=6$ می‌باشد که من با یک برنامه ساده و چند خطی کد متلب این را ثابت کردم البته می‌شود از طرفین رابطه بالا انتگرال گرفت و به یک نامعادله از $n$ رسید ولی پیچیدگی خاص خودش را دارد.

برنامه متلب:

n=1;
while (((pi^(n+1))/( factorial(n+1)*2^(3*n+2)))>= 0.000001)
    n=n+1;
end
n

Comments

ممنون.ولی برنامه رو نتونستم اجرا کنم!!!

---

@رها
خواهش می‌کنم،چه خطایی داره؟