Question

نشان دهید که $1+2^{3^km}+4^{{3}^km}$ بر $1+2^{3^k}+4^{3^k}$ بخش‌پذیر است. ($m$ عددی طبیعی است که بر 3 بخش‌پذیر نیست.)

راه‌های زیادی را امتحان کردم اما به نتیجه نرسیدم.

Comments

سلام بد نیست دو عبارت $1+m+m^{2}$ و $1^{n}+m^{n}+m^{2n}$ را بخش پذیریشان را بر هم بررسی کنید.

---

با راهنمایی @mort به جواب خواهید رسید مشکلی وجود ندارد

---

@amir7788 من هنوز نتوانستم اثبات کنم. لطفاً پاسخ را قرار دهید.

---

@mort و @amir7788 ابتدا اینکه نمادهایتان را مطابق با نمادهای پرسش برنداشته‌اید، بهتر بود از $m$ برای پایه استفاده نمی‌کردید. سپس اینکه نگفته‌اید برای چه $m$ و $n$هایی، در پایان اینکه برای $m=2$ و $n$ های متفاوت چه بر ۳ بخشپذیر باشند چه نباشند مانند ۳ و ۴ و ۵ و ۶ بخشپذیری‌ای که ادعا کردید برقرار نیست. برای نمونه $m=2$ و $n=3$، دو عددی که در دیدگاهتان نوشتید ۲۵۶ و ۷ می‌شوند که ۲۵۶ بر ۷ بخشپذیر نیست. اگر $n=4$ آنگاه عدد دوم‌تان 65553 است که باز هم بر ۷ بخشپذیر نیست.

Answer 1

$4^{ 3^{k}m}+ 2^{ 3^{k}m}+1= 2^{ 3^{k} (2m)} + 2^{3^{k} m} +1$

$=(2^{2 \times3^{k} } + 2^{3^{k}} +1)( 2^{3^{k} (2m-2)}- 2^{ 3^{k}(2m-3)} + 2^{ 3^{k}(2m-5)} -...-2^{ 3^{k}}+1)$

$\Rightarrow( 4^{ 3^{k}}+ 2^{3^{k}}+1) | (4^{ 3^{k}m} + 2^{3^{k}m} +1)$

(توجه شود که این اتحاد برای تمام اعداد طبیعی $m$ که بر $3$ بخشپذیر نیستند ، و هر عدد حسابی $k$ درست است.در واقع مضرب های $3$ در توان باهم در نظر گرفته شده اند).

در ضمن در پرانتز سمت راست اتحاد جمله اول و آخر واضح است و از جمله دوم به بعد ضریب $3^k$ در توان به صورت :

$2m-3,2m-5,2m-7,...,2m-(2m-1)$

است که این دنباله $m-1$ جمله است پس کل پرانتز دوم با دو جمله دیگر در واقع $m+1$ جمله دارد.

$\Box$

Comments

این تساوی بالا برای هر m ی طبیعی که مضرب 3 نیست درست است.در ضمن جواب ویرایش شد که ممکنه براتون ابهام رفع بشه.

---

@قاسم شبرنگ هنگامی که شخصی را مورد خطاب قرار می دهید از @نام کاربری استفاده کنید تا آن شخص متوجه دیدگاه شما بشود.
من موقع نوشتن کد فکر کردم عبارت داخل پرانتز در توان یکی یکی کم می شود که بی دقتی از من بود (ویرایش می شود).
خیر پاسختان هنوز مشکل دارد. تساوی برای هر m درست نیست. مثلا $k=1 , m=3$ یا $k=1 , m=5$.

---

سلام.
حق با شماست.
تساوی برای هر k حسابی و هر عدد طبیعی m که مضرب 3 نباشد درست است.
ببین از این ایده استفاده شده است تمام مضارب 3 را جدا مینویسیم.
همین سوال در جایی دیگر به صورت دیگری مطرح شده.

---

@AmirHosein لطفاً در صورتی که زمان آزاد داشتید این پاسخ و دیدگاه ها به ویژه دو مثال نقض را بررسی کنید. ممنون

---

چشم.بررسی شد.
فرمول برای همه m های طبیعی بجز مضارب سه و تمام k های حسابی درسته.
مثال نقض شما برای m=3 است.

Answer 2

ابتدا قضیه زیر را بیان می کنیم: (منظور از gcd بزرگترین مقسوم علیه مشترک است)

فرض کنید که $a , m ,n$ اعداد طبیعی باشند که $a > 1$. داریم:

$gcd(a^m -1 , a^n -1) = a^{gcd(m,n)}-1$

اثبات این قضیه به خاطر طولانی شدن پاسخ آورده نمی شود.

اکنون به سوال اصلی بر می گردیم. بنا به اتجاد چاغ و لاغر داریم:

$2^{3^{k+1}m}-1=(2^{3^k m})^3 - 1^3 =( 2^{3^k m} - 1) (4^{3^km}+ 2^{3^km}+1)$

باز هم بنا به اتحاد چاغ و لاغر داریم:

$2^{3^{k+1}m}-1= (2^{3^{k+1}})^m-1^m= (2^{3^{k+1}}-1 )q$

از دو تساوی نتیجه می شود که:

$2^{3^{k+1}}-1 \mid ( 2^{3^k m} - 1) (4^{3^km}+ 2^{3^km}+1)$.

اکنون در قضیه بالا $a=2$ را قرار بدهید. داریم:

$gcd(2^{3^{k+1}}-1 , 2^{3^k m} - 1) = 2^{3^k} - 1 \Longrightarrow 2^{3^{k+1}}-1 =(2^{3^k} - 1) s, \space \space 2^{3^k m} - 1= (2^{3^k} - 1 ) r$

که در آن $gcd(r,s)=1$. با توجه به رابطه بخش پذیری بالا داریم:

$(2^{3^k} - 1) s \mid (2^{3^k} - 1 ) r (4^{3^km}+ 2^{3^km}+1) \Longrightarrow s \mid r (4^{3^km}+ 2^{3^km}+1) \Longrightarrow s |(4^{3^km}+ 2^{3^km}+1)$

چون $2^{3^{k+1}}-1 =(2^{3^k} - 1) s$ داریم:

$s = \frac{ 2^{3^{k+1}}-1}{2^{3^k} - 1}= 1 + 2^{3^k} + 4^{3^k}$

لذا حکم ثابت شد.