Question

با استفاده از قضیه مقدار میانگین، برای هر دو عدد a و b نشان دهید |sina-sinb| کوچکتر یا مساوی |a-b| است.

درستی این عبارت که شکی توش نیست ولی با استفاده از قضیه مقدار میانگین چطور میشه اثباتش کرد؟

Comments

@Khose_M2 چرا شکی در درستی این عبارت ندارد؟ هر چیزی را بدون اثبات می‌پذیرید؟ به هر حال برگردیم به پرسش‌تان، اصلا قضیهٔ مقدار میانگین را خوانده‌اید؟ اگر بلی بعد از خواندنش برای این مسأله چه کار کردید؟ چیزی روی کاغذ شروع به نوشتن کردید؟ اگر بلی، همان چیزی را که فکر کردید را در ادامهٔ متن در پرسش‌تان وارد کنید.

---

@Khode_M2 اینجا هدف یادگیری است و رفع ابهام‌ها و تصحیح اشتباه‌ها نه گذاشتن پاسخ برای کپی‌پیست شدن! بهتر است صفحهٔ راهنمای سایت را بخوانید. به صورت صریح اشاره شده که باید به تلاش و فکر خودتان اشاره کنید. بعلاوه وقتی نیت یادگیری باشد، زمانی که راهنمایی‌ای می‌شوید می‌روید به سراغ فکر رکدن روی راهنمایی و نوشتن نه گلایه کردن که چرا کل جواب را آماده برایتان نمی‌گذارند. @admin

---

@Khode_M2 از قسمت نخست دیدگاه‌تان که برای خودتان بهتر است حذفش کنید می‌گذرم. در مورد قسمت دوم. اگر متن صورت قضیه‌ها را واقعا خوانده و فهمیده باشید مثلا در پاسخی که آقای @good4us لطف کردند و برایتان گذاشتند (https://math.irancircle.com/21370/#a21385) می‌توانستید تا حداقل جایی که مشتق را گرفتند و مساوی صفر قرار دادند پیش بروید یا خیر؟ اگر بلی چرا در پست پرسش به عنوان تلاش خودتان نیاورده‌اید؟ اگر خیر، که یعنی هنوز در صورت قضیه یا چیزی را نفهمیدید مانند «ندانستن اینکه دو تابع در پرسش https://math.irancircle.com/21283 یعنی چه و کدام تفاضل!» یا اینکه اصلا شروع به فکر کردن و قلم به دست شدن نکرده‌اید. به جای گرفتن وقت دیگران با این دیدگاه‌ها، وقتی برایتان دیدگاهی می‌گذارند که تلاش خودتان را اشاره کنید یا راهنمایی می‌گذارند، شروع به پیاده کردن چیزی که دیدگاه گذاشته شده به شما می‌گوید کنید. مطمئن باشید تفاوت خیلی زیادی برایتان ایجاد خواهد کرد. @admin

---

Khode_M2@ ببینید عزیز من این در قوانین سوال و پاسخ دهی سایت آمده ، شما باید آن چه در رابطه با سوالتون فکر کردید هم ذکر کنید و صرفاً انتظار نداشته باشید که فقط راه حل را برای سوالاتتان بنویسند

Answer 1

قضیه مقدار میانگین : اگر تابع حقیقی $f$ بر روی بازه $[a,b]$ مشتق پذیر باشد آنگاه $c \in [a,b]$ وجود دارد که :

$f' (c)= \frac{f(a)-f(b)}{a-b}$

حال قرار دهید $f(x)=Sin \ x$ . تابع $f$ بر بازه دلخواه $[a,b]$ مشتق پذیر است و $f' (x)=Cos \ x$ پس طبق قضیه مقدار میانگین $c \in[a,b]$ وجود دارد که :

$Cos \ c = \frac{Sin \ a \ - \ Sin \ b}{a-b}$

اما $\mid Cos \ c \mid \leq 1$ پس $\mid \frac{Sin \ a \ - \ Sin \ b}{a-b} \mid \leq 1$ در نتیجه $\mid Sin \ a \ - \ Sin \ b \mid \leq \mid a-b \mid$ و اثبات تمام است .