قضیه مقدار میانگین : اگر تابع حقیقی $f$ بر روی بازه $[a,b]$ مشتق پذیر باشد آنگاه $c \in [a,b]$ وجود دارد که :
$ f' (c)= \frac{f(a)-f(b)}{a-b} $
حال قرار دهید $f(x)=Sin \ x$ . تابع $f$ بر بازه دلخواه $[a,b]$ مشتق پذیر است و $ f' (x)=Cos \ x$ پس طبق قضیه مقدار میانگین $c \in[a,b] $ وجود دارد که :
$Cos \ c = \frac{Sin \ a \ - \ Sin \ b}{a-b} $
اما $ \mid Cos \ c \mid \leq 1$ پس $ \mid \frac{Sin \ a \ - \ Sin \ b}{a-b} \mid \leq 1$ در نتیجه $ \mid Sin \ a \ - \ Sin \ b \mid \leq \mid a-b \mid $ و اثبات تمام است .
