الف )
ایده اثبات استفاده از توابع مولد است . تعداد افزارهای عدد طبیعی $n$ به جمعوندهای فرد برابر است با ضریب جمله $ x^{n} $ در تابع زیر :
$f(x)=(1+x+ x^{2} + x^{3} +...)(1+ x^{3} + x^{6} + x^{9} +...)(1+ x^{5} + x^{10} + x^{15} + ...) ...$
اما چگونه به تابع $f$ رسیده ایم . در هر افراز عدد طبیعی $n$ به جمعوندهای فرد اعداد $1$ و $3$ و $5$ و $7$ و ... قرار دارند . در این افراز ها ترتیب نوشتن جمعوندها مهم نیست و فقط تعداد هریک از اعداد به کار رفته در افراز اهمیت دارد . هریک از این اعداد در افراز یا نمی آیند یا 1 بار می آید یا 2 بار می آیند یا 3 بار می آیند یا ... پس به ازای هر یک از این اعداد تابع $(1+ x^{m} + x^{2m} + x^{3m} +...)$ را در نظر میگیریم که $m \in \{1,3,5,7,...\} $ . حال تابع مولد از ضرب این توابع بدست می آید که میشود تابع $f$ .
با استفاده از اتحاد $1+ x^{m} + x^{2m} + x^{3m} +...= \frac{1}{1- x^{m} } $ می توان تابع $f$ را به صورت زیر نوشت :
$f(x)= \frac{1}{1- x } \times \frac{1}{1- x^{3}} \times \frac{1}{1- x^{5}} \times \frac{1}{1- x^{7}} \times \frac{1}{1- x^{9}} \times \frac{1}{1- x^{11}} \times ...$
حال تعداد افراز های $n$ به جمعوندهای متمایز برابر است با ضریب جمله $ x^{n} $ در تابع زیر :
$g(x)=(1+x)(1+ x^{2} )(1+ x^{3} )(1+ x^{3} )(1+ x^{4} )(1+ x^{5} )...$
اما تابع $g$ چگونه بدست آمده است . در هر افراز عدد $n$ به جمعوندهای متمایز هر یک از اعداد $1$ و $2$ و $3$ و $4$ و $5$و ... یا نمی آیند یا فقط 1 بار می آیند پس به ازای هر یک از این اعداد تابع $1+ x^{m} $ را در نظر میگیریم که $m \in \{1,2,3,4,5,...\} $ . با استفاده از اتحاد مزدوج داریم $1+ x^{m} = \frac{1- x^{2m} }{1- x^{m} } $ پس تابع $g$ به صورت زیر در می آید :
$g(x)= \frac{1- x^{2} }{1- x } \times \frac{1- x^{4}}{1- x^{2}} \times \frac{1- x^{6}}{1- x^{3}} \times \frac{1- x^{8}}{1- x^{4}} \times \frac{1- x^{10}}{1- x^{5}} \times \frac{1- x^{12}}{1- x^{6}} \times ... $
اگر به تابع $g$ دقت کنیم متوجه می شویم که تمام جملات صورت در مخرج کسرهای جلوتر وجود دارند که با هم خط می خورند . پس تابع $g$ به صورت زیر ساده می شود :
$g(x)=\frac{1}{1- x } \times \frac{1}{1- x^{3}} \times \frac{1}{1- x^{5}} \times \frac{1}{1- x^{7}} \times \frac{1}{1- x^{9}} \times \frac{1}{1- x^{11}} \times ...$
بنابراین $f(x)=g(x)$ در نتیجه به ازای هر عدد طبیعی $n$ ضریب جمله $ x^{n} $ در تابع $f$ با ضریب جمله $ x^{n} $ در تابع $g$ برابر است . پس تعداد افراز های عدد طبیعی $n$ به جمعوندهای فرد با تعداد افراز های عدد طبیعی $n$ به جمعوندهای متمایز برابر است و حکم ثابت شد .
ب )
تعداد افراز های عدد $2n$ به جمعوندهای زوج متمایز برابر است با ضریب جمله $ x^{2n} $ در تابع زیر :
$h(x)=(1+ x^{2} )(1+ x^{4} )(1+ x^{6} )(1+ x^{8} )(1+ x^{10} )(1+ x^{12} )(1+ x^{14} )...$
حال با استفاده از اتحاد مزدوج $1+ x^{2m} = \frac{1- x^{4m} }{1-+ x^{2m} } $ می توان تابع $h$ را به صورت زیر نوشت :
$h(x)= \frac{1- x^{4} }{1- x^{2} } \times \frac{1- x^{8} }{1- x^{4} } \times \frac{1- x^{12} }{1- x^{6} } \times \frac{1- x^{16} }{1-x^{8} } \times \frac{1- x^{20} }{1- x^{10} } \times \frac{1- x^{24} }{1- x^{12} } \times \frac{1- x^{28} }{1- x^{14} } \times ...$
بعد از ساده کردن تابع $h$ به صورت زیر در می آید :
$h(x)=\frac{1 }{1- x^{2} } \times \frac{1 }{1- x^{6} } \times \frac{1 }{1- x^{10} } \times \frac{1 }{1-x^{14} } \times \frac{1 }{1- x^{18} } \times ... $
با اندکی تامل متوجه می شویم که باید تغییر متغیر $y= x^{2} $ را انجام دهیم . پس ضریب جمله $ x^{2n} $ در تابع $h$ برابر است با ضریب جمله $ y^{n} $ در تابع :
$f(y)= \frac{1}{1- y } \times \frac{1}{1- y^{3}} \times \frac{1}{1- y^{5}} \times \frac{1}{1- y^{7}} \times \frac{1}{1- y^{9}} \times \frac{1}{1- y^{11}} \times ...$
تابع $f$ همان تابع مولد تعداد افراز ها به جمعوندهای فرد است . پس تعداد افراز های عدد $2n$ به جمعوندهای زوج متمایز برابر است تعداد افراز های عدد $n$ به جمعوندهای فرد و اثبات تمام است .
